8.4. Номинальная и эффективная нормированные ставки

На практике в случае накопительных счетов, как и для кредитных сделок, часто используют не ставки начисления, а так называемые

номинальные ставки, относящиеся к некоторым, заранее выбранным периодам. Период, к которому относится номинальная ставка, называ­ется номинальным. Он непосредственно не связан с периодом начисле­ния и может выбираться произвольно.

Цель введения номинального периода состоит в осуществлении единообразного способа задания ставок, определяющих динамику нако­пительных счетов. Кроме того, номинальный период играет роль пери­ода приведения, к которому приводятся значения ставок начисления. Это позволяет сравнивать такие ставки. Хотя номинальный период может быть выбран произвольно, на практике он выбирается есте­ственным образом, связанным с используемой временной шкалой. Чаще всего номинальный период' представляет собой просто единич­ный (базовый) период временной шкалы. Так, если шкала годовая, то номинальный период равен году и все номинальные ставки — годовые. Приведение ставок начисления к единичному периоду времен­ной шкалы принято называть нормированием, а соответствующее значе­ние ставки — нормированным.

Таким образом, нормированные номинальные ставки в накопи­тельных схемах сложных процентов вполне аналогичны нормирован­ным ставкам простых кредитных сделок и нормированным ставкам начисления в схеме простых процентов. Во всех случаях идея состоит в приведении (нормировании) ставок, непосредственно связанных с различными периодами, к некоторым стандартным (например, базовым), периодам.

Поскольку роль номинальной ставки — стандартизированное пред­ставление ставок начисления, то ее задание предполагает, кроме указа­ния номинального периода и значения самой ставки, задание допол­нительной информации, позволяющей легко определить соответству­ющий период начисления, а также правило для вычисления значения ставки начисления.

В качестве дополнительной информации, устанавливающей связь между номинальной ставкой и ставкой начисления, используют либо непосредственно период начисления, либо так называемую кратность начисления. Кратность начисления равна отношению номинального перио­да к периоду начисления. Она, таким образом, показывает число раз. которое период начисления содержится в номинальном периоде.

Иногда понятие номинальной ставки вводят несколько иначе, ос­новываясь на так называемой кратной выплате процентов. Этот под­ход можно пояснить следующим образом.

{ В соответствии с моделью накопительного счета проценты за V период начисления присоединяются к сумме счета в конце периода начисления. Это лишь один из способов так называемой актуализа­ции, т.е. преобразования интервальной величины, какой являются проценты за период, в мгновенную величину (см. гл. 1). Имеется бесконечное число способов такого преобразования или, примени­тельно к нашему случаю, выплаты процентов: в начале, середине периода и т.п. Здесь нас будет интересовать один весьма распростра­ненный способ, при котором проценты за период начисления «выпла­чиваются» несколько раз одинаковыми суммами. Глагол «выплачива­ются» взят в кавычки, поскольку в накопительных моделях проценты не выплачиваются, а присоединяются к счету т.е. сумма счета увеличи­вается. Эту операцию мы назвали начислением. Термин «выплачивают­ся» понадобился для того, чтобы избежать коллизии понятий исходно­го начисления один раз в конце (исходного) периода начисления и нового (многократного) начисления в течение этого периода.

Примерами такой схемы могут служить выплаты начисленных за год процентов дважды в конце каждого полугодия, четырежды в конце каждого квартала или 12 раз в конце каждого месяца. Легко понять, что при таком подходе исходный период начисления перестает быть фактическим периодом начисления; фактическими периодами начис­ления становятся подпериоды, составляющие исходный период, поскольку в конце именно этих подпериодов осуществляется факти­ческое начисление, т.е.

В общем виде упомянутую выше схему можно представить следую­щим образом. Исходный период начисления И разбивается на т одина­ковых подпериодов, и сумма процентов за этот период выплачивается т раз в конце каждого подпериода. Величина каждой выплаты равна

Л/т⁼~' (8.23)

т

так, что общая сумма выплаченных за исходный период начисления процентов будет той же — J_h. Поскольку исходный период И фактичес­ки не является периодом начисления, назовем его номинальным перио­дом и обозначим Ь. Действительным периодом начисления будет пери­од Ь/т; именно его обозначим теперь через И\

й = - (8.24)

т

Целое число т, т.е. число фактических начислений за исходный номинальный период, назовем кратностью начисления.

Переход к другому, более мелкому периоду начисления означает фактически изменение и ставки начисления. Если для исходного (номинального) периода Ь соответствующая ставка будет равна /₄, то из равенства (8.23) следует, что

'¹^'¹ы_т=-> (8.25)

т

Иными словами, ставка за фактический период начисления в т раз меньше ставки за номинальный период.

Хотя описанный подход может служить мотивацией для введения номинальных ставок, он не является вполне строгим, так как начисле­ние по ставке /_Л не будет давать одинаковых процентных сумм

/ _ -/л Л/и -

' т

для всех подпериодов исходного номинального периода. На самом деле в основе этого подхода заложено выполнение равенства (8.25), а не (8.23).

Задание номинального периода и периода начисления осуществля­ется в некоторой временной шкале, единичный период которой может как совпадать, так и не совпадать с упомянутыми периодами. На прак­тике наиболее часто используют номинальный период, совпадающий с единичным периодом временнбй шкалы. В дальнейшем будем рас­сматривать именно этот случай. Тем не менее начнем с общего опреде­ления номинальной ставки.

Формально номинальная ставка в заданной временной шкале Т зада­ется тройной (Ь, Л,у), где Ь — длина (номинального) периода; Л — длина периода начисления;./ — числовое значение номинальной ставки.

Другой способ задания номинальной ставки состоит в задании тройки (Ь, т, у), где Ь и у имеют тот же смысл, что и выше, а д/г — кратность начисления, т.е.

(8.26)

Заметим, что длины Ь и И выражены в единицах временной шкалы Т.

Задание номинальной ставки подразумевает ее связь со ставкой начисления, описываемую соотношением

Пример 8.4. Пусть в годовой шкале номинальная ставка имеет вид 1 -, —, 12%\

и 12 ;

Найти кратность и ставку начисления.

Решение. Согласно определению номинальной ставки как тройки (Ь, Л, у), в данном случае (в годовой шкале) имеем: номинальный период Ь — полугодие, т.е. Ь — 1/2; период начисления И — месяц, т.е. И = 1/12; величина номинальной ставки у — 12% за полугодие. Таким образом, за этот период проценты начисляются

1/2

т-—— =6

раз, т.е. кратность начисления — 6 раз за полугодие, а ставка начисления = — = 2, т.е.

2% в месяц.

Пример 8.4 несколько искусственный. Как уже было сказано, на практике номинальный период совпадает с единичным промежутком временной шкалы. Обычно в качестве такого периода берется год. Тогда говорят о номинальной годовой ставке, подразумевая явное указание либо периода, либо кратности начисления. В случае, когда номинальный и единичный периоды временной шкалы совпадают, тройка, представляющая номинальную ставку, имеет вид (1, /г, У) или (1, /и,у), где И — период начисления, выраженный в единицах времен­ной шкалы; т — кратность начисления. При этом

I. ^{1 1}

т И

и данная номинальная ставка, согласно сказанному, будет являться нормированной.

Фактически задание номинальной ставки сводится к заданию пери­ода начисления и ставки } (т.е. просто пары (Л, У)) или кратности начисления т и значения ставки (т.е. пары (от, У)). Однако не будем использовать обозначения номинальной ставки как пары:

— во-первых, потому, что в формулах прежде всего нужно лишь значение у ставки;

— во-вторых, использование пары (А, У) может привести к смеше­нию номинальной ставки со ставкой начисления, которая также зада­ется двумя элементами: периодом начисления и значением ставки.

Чтобы не путать виды ставок, будем использовать специальные индексные обозначения. Номинальную ставку с периодом начисления И мы обозначим как /_(/ , а ее значение с указанием кратности начисле­ния т — в виде 1^(т). Однако в дальнейшем мы также будем иногда использовать обозначение У для указания значения именно номиналь­ной ставки. С другой стороны, обозначение / (без индексов!) будет всегда означать нормированную ставку начисления, т.е. ставку с единич­

ным периодом начисления. В любом случае в определении номинальной ставки должно явно или неявно содержаться указание на период или кратность начисления. Говорят, например, о 10%-ной годовой ставке, начисляемой дважды в год, или, что то же самое, о 10%-ной годовой ставке с начислением по полугодиям.

Использование скобок позволяет отличать номинальную ставку от ставки начисления, которую обозначаем как /_Л.

Итак, нормированная номинальная ставка, относящаяся к единич­ному периоду временнбй шкалы, задается двояко:

— указанием самого периода начисления Л, выраженного в единицах базового периода; тогда ставка начисления определяется как

'*='У (8-27)

— указанием кратности начисления т за базовый период; в этом случае период начисления определяется по формуле

1 (8.28)

И = — > т

а ставка начисления _{т)

. __ /

(8.29)

т

Если И = 1 и, значит, т = 1, то период начисления совпадает с единичным периодом временнбй шкалы. В этом случае номинальная нормированная ставка превращается в нормированную ставку начис­ления:

/ = /О) = / (I) ¹ V

В этом случае мы пишем просто /.

Поскольку ставка начисления /_А непосредственно выражается через номинальную ставку / = /^Чи), числовое значение которой здесь обозна­чим как у, то можно переписать уравнения динамики накопительного счета в терминах номинальной ставки, подставляя выражения для ставки начисления

■И

^{1 т т

в уравнения (8.8) и (8.9). Тогда для моментов начисления 1_п ~ ^ + пН получим

^ = = , (8.30)

и поскольку

то имеем

(8.32)

Заметим, что выражение

V т)

есть не что иное, как множитель наращения или коэффициент роста за единичный (базовый) период времени при т-кратном начислении по номи­нальной ставке], соответствующей ставке начисления /. Следовательно,

(8.33)

Индекс« в вышеприведенных формулах обычно опускают и пишут просто

( I yl'-'o)

= 5,₀ 1+- , t = t₆+nh, яєїЧ, (8.34)

mj

т.е. момент / должен быть в этом случае моментом начисления и проме­жуток t—t должен содержать целое число

периодов начисления. Напомним, что в формулах (8.30), (8.32) — (8.34) j обозначает номинальную ставку.

П р и м е р 8.5. Найти накопленное значение суммы .#300 за 4 года, если номиналь­ная годовая ставка:

а) 10%, период начисления — 6 мес.;

б) 8%, период начисления — в 2 года. Решение.

а) Для годовой шкапы при ! = 0 и / = 4 имеем

Л-І; т = 2; і_т=№ = т

и ставка начисления за 6 мес.

- -10% = 5%. 2

Число полугодий составляет

п = tm = 4-2 = 8.

Следовательно,

S₄ - 300(1+0,05)^s - 443,24( ,.#).

б) В данном случае

2 Л 2

и двухгодичная ставка начисления

/, = /»' - 2-8% = 16%.

Следовательно,

- 300(1+0,1 б)² = 403,68(.#).

Важно понимать, что нормированная номинальная процентная ставка относится к единичному (базовому) промежутку временной шкалы. На практике это обычно годовая ставка, тогда как ставка начисления — это ставка за период начисления.

Полученные выражения для динамики накопительного счета, запи­сываемые в терминах номинальных ставок / и /^(т> п лиде

справедливы без оговорок лишь для моментов начисления 1= г_о + л/г, т.е. для промежутков [г₀, (], содержащих целое число периодов начисления /г.

В § 8.3 мы сформулировали три обобщения (интерполяции) уравне­ния динамики накопительного счета, выраженного через ставку на­числения. Подставляя в эти обобщенные уравнения (8.20) - (8.22) выражение для ставки начисления через номинальную ставку, получим соответствующие формулы, отражающие динамику накопительного счета, в терминах номинальных ставок. Так, при = 0 получим для моделей следующие формулы: — кусочно-постоянная:

(8.35)

непрерывная:

(8.36)

— смешанная:

( .и лМ г .(_т) \М

. Г « I

Как уже упоминалось, мы будем работать исключительно с непре­рывной моделью. В дальнейшем ограничимся формулировкой резуль­татов для этой модели в терминах номинальной ставки лишь для

ставки і^{т) с /я-кратным начислением, имея при этом в виду, что запись аналогичных формул в терминах номинальной ставки /_(А1 получается тривиальной заменой і^(т) на і и \/т на И.

(А)

Для непрерывной модели для произвольного начального момента времени Г₀ > 0 из (8.9) получаем очевидное обобщение формулы (8.35):

,-Н А

(8.35')

Прежде чем перейти к изучению непрерывной модели, напомним еще раз, что номинальная ставка является просто нормированным пред­ставлением ставки начисления, т.е. приведением ее к единичному пе­риоду временной шкалы и, следовательно, ее удобно использовать, когда рассматривается не одна, а несколько или много ставок начисления.

Непрерывное начисление и бесконечно-кратные номинальные ставки. Явное разделение номинальной величины ставки с выделением ее числового значения и кратности (частоты) начисления позволяет раз­дельно исследовать эффект этих факторов для данного инвестицион­ного периода. В самом деле, рассмотрим период, состоящий из п базовых промежутков, например при / = 0 и / = п. Тогда для семейства номинальных ставок /^(т> с различной кратностью начисления, но с общим значением / ^{приходим к непрерывному начислению процентов. При этом для коэффициента роста получаем предельные значения}

= е^у. (8.38)

1 +

, т)

Следовательно, при непрерывном начислении процентов по номи­нальной ставке у" накопленная за п периодов сумма

(8.39)

Отметим, что во всех приведенных выше формулах числа тип предполагались, вообще говоря, целыми неотрицательными числами. Ниже рассмотрим обобщения эти^ формул, однако уже здесь можно отметить особенность формулы (8.39). При непрерывном начислении естественным образом исчезает проблема соизмеримости периода на­числения и базового периода. Поэтому при непрерывном начислении (8.39) можно использовать для любых периодов. Так, для периода длины Г накопленная сумма будет выражаться формулой

(8.40)

а соответствующий коэффициент роста примет вид

(8.41)

Конечно, на практике непрерывное или бесконечно-кратное начис­ление непосредственно реализовать нельзя, но оно легко реализуется схемой накопления, задаваемой формулой (8.40), означающей, что инвестору, открывшему счет на сумму 5₀ в момент времени г_о = 0, в любой момент времени I приписывается (начисляется) сумма

определяемая выражением ._г «

= о₀е . (о.42)

При этом проценты, начисленные инвестору за период [0, составят

О бесконечно-кратном или непрерывном начислении будет более подробно сказано ниже, а сейчас вернемся к дискретным схемам начисления (с конечной кратностью).

Эффективные ставки. Каждая дискретная схема начисления опреде­ляется либо ставкой начисления /_А с периодом начисления И, либо нор­мированным представлением этой ставки, т.е. номинальной ставкой /^(лт), где т = 1/Л — кратность начисления номинальной ставки. При этом

т

Динамика роста в этом случае (для непрерывной модели) выражает­ся равенствами (при / = 0)

( /И 1+ —

ш ;

Напомним, что величина

=(ін)"\

ставка начисления, соответствующая периоду начисления

А=1/т, представляет собой коэффициент роста инвестированной суммы 5₀ за единичный период по ставке начисления /, соответствую­щей номинальной ставке 1^{(1 + 0}

или

(

.(т)

г ^; —»

т

Эффективную нормированную ставку, соответствующую ставкам начисления /_А и номинальной Р^т\ будем обозначать как , , или |'зф, если понятно, какой период начисления рассматривается, либо, наконец, просто /, если И = I. Таким образом,

( -Н ^

/⁽:Ч 1+—'

^>эф I т)

Отметим еще особый случай, когда/г = /?г = 1, т.е. период начисления совпадает с единичным периодом временной шкалы. Тогда все три типа ставок совпадают:

1 эф

и можно говорить просто о нормированной ставке, которая воплощает все три типа ставок, и не использойать в обозначении никаких допол­нительных индексов, символов и меток.

Пример 8.6. Найти годовую эффективную ставку, соответствующую 10%-ной годовой номинальной ставке, начисляемой дважды в год.

Ре ш е н и е. В данном случае = 10%.

Тогда

-1 = (1,05)² -1 = 0,1025, или 10,25%.

Мы привели определение нормированной эффективной ставки, т.е. ставки за единичный (базовый) период, соответствующей номи­нальной ставке 1^{т) или ставке начисления /_л с Л = 1 /т. Заметим теперь, что если рассмотреть семейство номинальных ставок /^(т) с различной кратностью начисления, но с общим значением /⁽'^и) =_/, то получим соответствующее семейство эффективных ставок , причем

( / V

\+~ -1. (8.44)

'эф

т )

Положим

^'эф 'эф •

Из (8.44) следует, что этот предел

(8.45)

определяет эффективную ставку, соответствующую бесконечно-крат­ной (непрерывно начисляемой) номинальной ставке Заметим, что период начисления И = 1 /т, соответствующий номинальной ставке /⁽"^!>, стремится к нулю при т —> Таким образом, со ставкой / ~ 1^{ао)

не связан никакой период начисления. Ставки у и связаны непос­редственно лишь с единичным периодом временнбй шкалы, к которо­му они относятся.

Пример 8.7. Пусть } - 10% есть номинальная головая ставка, начисляемая непрерывно. Какова соответствующая (нормированная) эффективная годовая ставка?

Р е ш е н и е. При данных условиях

— е⁰-^[3] — 1 — 0,1052,

т.е. /!;'= 10,52%.

Знание эффективной (нормированной) ставки позволяет перепи­сать выражение для накопленных сумм в виде

$. = ■$>0+ '*)"• (⁸-⁴⁶>

Эта формула имеет совершенно естественный смысл. Поскольку коэффициент ,

есть коэффициент роста за единичный (базовый) период, то коэффи­циент (1 + / )" есть коэффициент роста за п единичных (базовых) периодов. Это соответствует общей логике сложных процентов. Ины­ми словами, возвращаемся к простейшей формуле (8.2) с той лишь разницей, что теперь в качестве ставки начисления / берется эффектив­ная ставка за период. Конечно, если И — т=\, т.е. период начисления и базовый период совпадают, то также совпадают номинальная и эф­фективная ставки за периоды. В общем же случае можно применить простейшую формулу (8.2), вычислив предварительно эффективную ставку / по заданным параметрам номинальной ставки.

Номинальная и эффективная ставки для произвольных периодов на­числения. В предыдущем параграфе выполнен переход от дискретной модели накопительного счета, определяемой периодом начисления /? и ставкой начисления / за этот период, к непрерывной модели, описыва­емой уравнением (при ~ 0)

Выражая нормированный коэффициент роста (1 + /_у1)^1/7' за единичный период через эффективную нормированную ставку:

(1+/_АГ=1+'эф»

20-5169

(8-47)

Строго говоря, такое определение эффективной ставки в данном слу­чае не вполне обоснованно, так как ранее оно было дано лишь для случая целочисленной кратности начисления за единичный период вре­менной шкалы, т.е. когда т = 1 /И — целое число.

Сформулируем общее определение (нормированных) номинальной и эффективной ставок в непрерывной модели для любого периода начисления, выраженного в единицах временной шкалы.

Определение 8\ ]. Пусть Т — временная шкала; А — период начисле­ния, выраженный в единицах временной шкалы; /_А — ставка начисле­ния. Тогда ставка

называется нормированной номинальной, а ставка

(8.49)

— нормированной эффективной ставкой, соответствующими ставке начисления /_А. При этом номинальная и эффективная ставки, связан­ные равенством

(8.50)

также называются соответствующими друг другу.

Заметим, что по этому определению число т ~ \/И может быть нецелым. Однако и в этом случае будем называть эту величину, обрат­ную периоду начисления, кратностью (частотой) начисления и по- прежнему будем формулировать результаты в терминах номинальной ставки 1^Ш) = /^ч1/А\

Определения (8.49) и (8.50) являются, естественно, применением введенной выше непрерывной модели накопления с динамикой, задава­емой уравнением

к единичному промежутку Г = 1.

Рассматривая теперь семейство номинальных ставок /^(1/Л) с различ­ными периодами начисления /г, но с общим значением, равным у",

получим соответствующее семейство эффективных ставок

1,

где соответствующий множитель наращения а^1Х/к) имеет вид

Логарифмируя и переходя к пределу, получим

Нт1п(1 + у/г)^,/Л = у.

Отсюда, полагая

и

™'эф 'эф '

получаем, что

ое- I

а = еЛ

и, следовательно,

эф

Таким образом, получили, что и в этом общем случае для непрерыв­ной модели при непрерывном начислении процентов для нормированных коэффициентов роста и эффективной ставки имеют место те же самые предельные формулы (8.38) и (8.45), что и в случае кратного начисле­ния процентов, и, следовательно, динамика накопления будет опреде­ляться той же самой формулой (8.42).

Пример 8.8. Пусть в годовой шкале задана ставка = 20% с двухгодичным периодом начисления h = 2. Найти годовые номинальною и эффективную ставки, соответствующие этой ставке.

Решение. В данном случае т = 1/2. Тогда номинальная годовая ставка

;№ >_; _ _ 20% _

а эффективная годовая

'(2)

Хотя номинальная и эффективная ставки являются нормированны­ми представлениями ставки начисления, их финансовые интерпретации существенно различны. Так, номинальная нормированная ставка не является фактической ставкой за номинальный базовый период (пери­од приведения), тогда как эффективная нормированная ставка пред­ставляет собой фактическую ставку за период приведения в непрерыв­

ной модели накопительного счета. Говоря о том, что эффективная став­ка — это фактическая ставка за период приведения, мы имеем в виду, что коэффициент роста счета за этот период в точности равен 1 + /' .

Подведем итоги анализа основной непрерывной модели накопитель­ного счета в схеме сложных процентов. Сформулируем их в общем случае, когда в качестве начального момента рассматривается произ­вольный момент времени г₀, а начальная сумма счета равна S_/ . Заме­тим, что распространение результатов для / = 0 на случай / Ф 0 вполне очевидно и не нуждается в дополнительном обосновании.

Непрерывная модель процентного роста задается одним из следую­щих четырех видов процентных ставок:

— ставкой начисления і за периой начисления Л; соответствующая динамика описывается равенством

5,=5,_и(Щ₁Г^п'^/\ '>'„; (8.51)

— нормированной номинальной ставкой і^іт) с кратностью начисления т с динамикой

/>/₀; (8.52)

— непрерывной (бесконечно-кратной) номинальной ставкой) — /^(ве) с ди­намикой

г>/₀; (8.53)

— нормированной эффективной ставкой / с динамикой

=5„ (! + /)'■", 1>1„. (8.54)

Заметим, что способ задания модели с помощью нормированной эффективной ставки является на самом деле частным случаем задания с помощью ставки начисления /_д, если период начисления совпадает с базовым (единичным) периодом времени. Как отмечалось выше, ин­декс в обозначении /, часто опускается и пишут просто /. Мы указали этот случай отдельно, так как для него закон динамики имеет наиболее простой вид, именно поэтому он часто используется в теории финансов.

С помощью нормированного коэффициента роста динамику нако­пительного счета в каждом из этих случаев можно записать в унифици­рованном виде

где а — нормированный коэффициент роста в модели, при этом:

— для модели с заданной ставкой начисления {

— для модели, задаваемой номинальной ставкой /^(т) с /и-кратным начислением,

( ;Н ^ 1+ —

V т

— для модели с непрерывным (бесконечно-кратным) начислением

а — еЛ

Кроме того, отметим, что в каждой из этих моделей нормированный коэффициент роста связан с соответствующей эффективной нормиро­ванной ставкой основным соотношением

(8.56)

Пример 8.9. Пусть в годовой шкале заданы ставки = 72,8%, /⁽¹> = 40% и у = = = 20%. Найти соответствующие этим ставкам нормированные коэффициенты роста в непрерывной модели накопительного счета и будущую (накопленную) стоимость .#1. Реше н и е.

а) Для = 72,8%, И -- 3 года и коэффициент роста имеет вид

а = (1 = (1,728)^ = 1,2

и, следовательно,

б) Для /