<<
>>

2.2. Наращение по схеме сложных процентов

Наращенная сумма. Пусть в момент t = 0 сумма PV размещена на банковский счет под сложную годовую процентную ставку i сроком на n лет. Проценты начисляются один раз в конце года. Через один период наращения (через год) на счете будет сумма, равная PV + i ■ PV = PV (1 + i).
Полученная сумма вновь инвестирована под про­центную ставку i на следующий процентный период. Тогда к концу второ­го процентного периода на его счете будет сумма, которая исчислена сле­дующим образом: PV (1 + i) + iPV (1 + i) = PV (1 + i)2. И так далее. Нара­щенная сумма к концу n-го периода суммы PV определяется по формуле

FV = PV(1 + i)n.

В данном случае имеет место так называемая капитализация процен­тов. Величина (1 + i)n называется множителем наращения в схеме слож­ных процентов.

Замечание. В MS Excel наращенная сумма по схеме сложных процентов вычисляется с помощью функции БС (ставка; кпер; плт;пс; тип).

Пример 2.3. Сумма в размере 2 000 000 ден. ед. дана в долг на 2 года по ставке сложного процента равной 35 % годовых. Определить сумму, подлежащую возврату, и процентные деньги.

Решение. Параметры задачи: PV = 2 000 000 ден. ед., n = 2 года, i = 35 %. Тогда наращенная сумма равна

FV = 2 000 000 • (1 + 0,35)2 = 3 645 000 ден. ед.

или

FV = БС(35 %;2;;-2 000 000) = 3 645 000 ден. ед.

Сумма начисленных процентов

I = FV - PV = 3 645 000 - 2 000 000 = 1 645 000 ден. ед.

Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 3 645 000 ден. ед., из которой 2 000 000 ден. ед. составляет долг, а 1 645 000 ден. ед. - «цена долга».

Переменная процентная ставка. Применяя формулу наращения сложных процентов последовательно для каждого периода наращения n1, n2, ... , nk, когда использовались сложные ставки i1, i2, ..., ik соответствен­но, получаем наращенную сумму:

FV = PV (1 + О n1(1 + ij2....(1 + ik)nk.

Замечание. В MS Excel наращенная сумма по переменной ставке сложных процентов вычисляется с помощью функции БЗРАСПИС (пер­вичное; план).

Пример 2.4. Фирма получила кредит в банке на сумму 100 000 ден. ед. сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена в 10 % для 1-го года, для 2-го года предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1,5 %, для последующих лет 1 % за три года. Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока.

Решение. Параметры задачи: PV = 100 000 ден. ед., i1 = 10 %, n1 = 1 год, i2 = 11,5 %, n2 = 1 год, i3 = 12,5 %, n3 = 3 года. Используя форму­лу переменных процентных ставок, получим

FV = 100 000 ■ (1 + 0,1) ■ (1 + 0,115) ■ (1 + 0,125)3 = 174 633 ден. ед., FV = БЗРАСПИС(100 000;{0,1;0,115;0,125;0,125;0,125}).

Таким образом, сумма, подлежащая погашению в конце срока займа, составит 174 633 ден. ед., из которых 100 000 ден. ед. являются непосред­ственно суммой долга, а 74 633 ден. ед.- проценты по долгу.

Наращение при дробном периоде лет. В случае, когда срок финан­совой операции выражен дробным числом лет n = a + b, a - целое число лет; b - дробная часть года, 0 < b < 1, начисление процентов возможно с использованием общего и смешанного методов.

Общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

РУ = РУ (1 + 1)а+ъ.

Смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет перио­да начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года - формулу простых процентов:

РУ = РУ(1 + 1)а- (1 +Ь- г).

Поскольку Ь < 1, то 1 + Ь - г > (1 + г) , то наращенная сумма будет больше при использовании смешанного метода.

Пример 2.5. В банке получен кредит под 9,5 % годовых в размере 250 000 ден. ед. со сроком погашения через 2 года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть, двумя методами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.

Решение. Параметры задачи: РУ = 250 000 ден. ед., п = 2 года и 9 меся­цев, г = 9,5 %.

Общий метод:

РУ = 250 000 - (1 + 0,095)2+9/12 = 320 870 ден. ед.

Смешанный метод:

РУ = 250 000 - (1 + 0,095)2 - (1 + 270/360 - 0,095) = 321 114 ден. ед.

Видно, смешанная схема более выгодна кредитору.

Наращение процентов т раз в году. Иногда в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а полугодие, квартал, месяц или другой период времени, т. е. проценты начисляются т раз в году. Тогда в контрактах фиксируется не ставка за процентный пери­од, а годовая ставка процентов, которая называется номинальной.

Пусть годовая ставка равнасрок финансовой операции п лет, а чис­ло периодов начисления процентов в году равно т. Тогда в каждом пери­оде длиной 1/т часть года проценты начисляются по ставке ]/т, количе­ство начислений при этом составит N = т п. Наращенная сумма равна

/ . \ т-п

1

, т > 1.
РУ = РУ

т

Пример 2.6. Сумма в размере 2 000 ден. ед. дана в долг на 2 года под 10 % годовых. Определить сумму, подлежащую возврату, если проценты начисляются: а) 1 раз в году; б) ежеквартально; в) ежемесячно.

Решение. Параметры задачи: РУ = 2 000 ден. ед., г = 10 %, п = 2 года. а) при т = 1 наращенная сумма равна

РУ = РУ - (1 + 1)п = 2 000 - (1 + 0,1)2 = 2 420 ден. ед., РУ = БС(10 %;2;;- 2 000) = 2 420 ден. ед. Сумма начисленных процентов равна

I = РУ - РУ = 2 420 - 2 000 = 420 ден. ед.;

б) при т = 4 количество периодов начисления равно N = т ■ п = 4 • 2 = 8. Наращенная сумма составит:

ГУ = РУ • (1 + ] / т)тп = 2 000 • (1 + 0,1 / 4 )8 = 2 437 ден. ед., ГУ = БС(10 %/4;2*4;;-2000) = 2 437 ден.

ед.

Сумма процентов равна I = ГУ - РУ = 2 437 - 2 000 = 437 ден. ед.

в) при т = 12 количество периодов начисления N = т • п = 4 • 12 = 24. Наращенная сумма составит:

ГУ = РУ • (1 + ] / т)т п = 2 000 • (1 + 0,1 / 12 )24 = 2 441 ден. ед., ГУ = БС(10 % / 12;2*12;; - 2 000) = 2 441 ден. ед.

Сумма процентов равна I = ГУ - РУ = 2 441 - 2 000 = 441 ден. ед.

Видно, что чем больше раз в году начисляются проценты, тем больше наращенная сумма и, как следствие, процентные деньги.

Ґ j\m 1

-1.

leff
lew = (1 + j / m)m - 1 = (1 + 0,1 / 4)4 - 1 = 0,103 8 или 10,38 %,
ieff = (1 + j / m)m - 1 = (1 + 0,1 / 12)12 - 1 = 0,104 7 или 10,47 %,

Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка, из­меряющая тот реальный относительный доход, который получен в целом за год с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка пока­зывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и т-разовое наращение в году по ставке ]/т. Эффективная ставка определяется по формуле:

V m J

Замечание. В MS Excel эффективная ставка по сложным процентам вы­числяется с помощью функции ЭФФЕКТ (номинальная_ ставка; кол_пер).

Пример 2.7. Определить эффективную ставку финансовой операции при: а) ежеквартальном, б) ежемесячном начислении процентов по годо­вой ставке 10 %.

Решение. Параметры задачи: j = 10 %.

а) при m = 4 эффективная ставка равна

leff

ieff = ЭФФЕКТ(10 %;4) = 0,103 8.

б) при m = 12 эффективная ставка равна

ieff

ieff = ЭФФЕКТ(10 %;12) = 0,104 7.

Таким образом, годовая ставка, эквивалентная номинальной ставке 10 % годовых при ежемесячном начислении процентов, составит 10,47 % против 10,38 % с ежеквартальным начислением процентов. Очевидно, что чем больше периодов начисления, тем быстрее идет процесс наращения.

Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финан­сового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше

15

эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных усло­виях) она выгоднее для кредитора.

Если известна эффективность ief финансовой операции, то номиналь­ная ставка определяется по формуле:

j = т-(m/T+Tf -1).

Замечание. В MS Excel номинальная ставка вычисляется с помощью функции НОМИНАЛ (эффективная_ставка; кол_пер).

Пример 2.8. Какая номинальная ставка процентов при ежемесячном начислении процентов даст эффективность финансовой операции 10 %?

Решение. Параметры задачи: ieff = 10 %. Номинальная ставка равна

j = т - (mJT+if -1) = 12 - (t^1 + 0,1 -1) = 0,095 7 или 9,57 %,

j = НОМИНАЛ(10 %;12) = 0,095 7.

т

Таким образом, номинальная ставка 9,57 % обеспечивает годовую до­ходность 10 %.

<< | >>
Источник: Марченко Л. Н.. Финансовая математика: наращение и дисконтирование: практ. рук-во / Л. Н. Марченко, Л. В. Федосенко, Ю. С. Боярович ; М-во образования РБ, Гом. гос. ун-т им. Ф. Скорины. - Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, - 48 с.. 2014

Еще по теме 2.2. Наращение по схеме сложных процентов:

  1. Наращение сложных процентов
  2. 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов
  3. 7.2. ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ И МЕТОДЫ ИХ НАЧИСЛЕНИЯ 7.2.1. ПОНЯТИЕ ПРОСТОГО И СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА
  4. 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов
  5. 1.2 Модели развития операций по схеме сложных процентов 1.2.1 Стандартная схема сложных процентов
  6. 2.1. Наращение по схеме простых процентов
  7. 2.2. Наращение по схеме сложных процентов
  8. 8.2. Накопительная модель в схеме сложных процентов
  9. 8.5. Учетные ставки в схеме сложных процентов
  10. 8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов
  11. 8.7. Эффективные ставки кредитных сделок и общее понятие ставки в схеме сложных процентов
  12. 8.8. Будущая и текущая стоимости денежных сумм в схеме сложных процентов
  13. 8.9. Стандартная схема сложных процентов
  14. Глава 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей в схеме сложных процентов
  15. Модели с переменным капиталом и потоки платежей в схеме сложных процентов
  16. 10.1. Дискретная накопительная модель в схеме сложных процентов
  17. Г л а в а 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков. Общая схема сложных процентов
  18. 11.3. Общая схема сложных процентов