<<
>>

8.2. Накопительная модель в схеме сложных процентов

Выберем некоторый промежуток времени на временнбй шкале, который назовем периодом начисления, а процентную ставку за этот же период — ставной начисления. Примем сначала предположение о том, что базовый временнбй период (т.е.
единица измерения временных про­межутков) совпадает с периодом начисления.

Наша цель — построение простейшей накопительной модели, или модели накопительного счета, в схеме сложных процентов. Как и в аналогичной модели для простых процентов, нас будет интересовать состояние счета в произвольный момент времени. Однако в простей- шем случае состояния рассматриваются лишь в конце последователь­ных периодов начисления. При этом считаем, что для такой модели выполнены следующие предположения: 1°. Начальная величина счета равна $ .

2°. Проценты начисляются за каждый период начисления по заданной

ставке начисления Л 3°. Величина процентов за период начисления равна произведению

величины счета в начале периода на ставку начисления. 4е. В конце каждого периода начисления счет увеличивается на сумму начисленных за этот период процентов (т.е. начисленные проценты реинвестируются).

Как будет показано ниже, в этом случае модель накопительного счета в схеме сложных процентов будет описываться формулой

(8.2)

где п ~ число (целое!) периодов начисления; / — ставка начисления.

Эта простейшая формула совпадает с формулой (8.1), описывающей результат накопления в последовательности простых сделок, если пери­од каждой сделки считать равным периоду начисления. Поэтому данную формулу легче интерпретировать как динамику накопления в постоян­но возобновляемой одной и той же кредитной сделке между двумя лица­ми — кредитором и должником, например между вкладчиком и банком.

Прежде чем вывести формулу (8.2), рассмотрим простой пример. Пусть инвестор кладет в банк на год сумму /#500 под 8% годовых. Это значит, что в конце года инвестор кроме вложенных денег получит добавочно проценты по вкладу, составляющие сумму

500-0,08 = 40(:#).

Следовательно, общая сумма вклада к концу 1-го года составит

500 + 40 = 540(^).

Реинвестирование вкладчиком этой суммы еще на один год под те же 8% годовых даст ему в конце года проценты на сумму

540-0,08 = 43,2(.Щ,

а полная сумма вклада станет

540 + 43,2- 583,2(.-К>).

Заметим, что этот результат можно представить в виде суммы

583,2 = 500 +80 + 3,2. Здесь ^?500 — начальная сумма вклада; :#80 — проценты на эту сумму за два года; :#3,2 — проценты на .#40, инвестированных в конце 1-го года процентов за этот год.

Рассмотрим эту схему в общем случае. Для простоты считаем базо­вым периодом один год.

Пусть 5 — начальная сумма; / — годовая процентная ставка. Тогда за 1-й год проценты составят^ = 50/ и величина счета увеличится до

^ = + ^ - ^о + 50/ = 5"0(1 + /). Проценты за 2-й год составят

У2 =5,1/ = 5,0(1+/)/, а сумма вклада увеличится до . !

^ =5; +J2=S0(\+i) + S^)(\+i)i = $l(l + i) = S0(\+i)2.

Для любого года можно получить аналогичные соотношения. Так, если величина вклада в конце к-го года равна то проценты за (.к + 1)-й год

(8.3)

а сумма вклада в конце (к + 1)-го года станет

Таким образом, за каждый год величина вклада увеличивается в (1 + /) раз. Следовательно, начальный вклад к концу «-го года

5„ = 50 (!+/)".

Величина £ называется накопленным или будущим значением исходной суммы ^. Множитель

я = 1 + /

— годовой коэффициент (множитель) роста, а множитель

(1+0" ~ а"

— коэффициент (множитель) роста за п лет по сложным процентам.

Различие между простыми и сложными процентами в модели нако­пительного счета состоит в том, что в первом случае проценты на исходный капитал не присоединяются к нему на каждом периоде начисления, во втором — присоединяются, т.е. инвестируются снова или, как говорят, реинвестируются на тех же условиях, что и основной капитал.

Уравнения

* (8.5)

1 ~ ^ + Л+ 5 '

полученные выше, вместе с начальными условиями полностью описы­вают динамику накопления в схеме сложных процентов.

Важно различать величину/ процентов за п-й год и проценты /[0, п] за п лет. Формально последняя величина определяется как прирост начальной суммы вклада за п лет:

К = ' [0,«] = 5. - = 5, (1 + /)* - 5, = 5, [(1 + /)"" ']■

Более общим образом можно определить проценты за любой период [к,п\:

= (8.7)

т.е. как прирост суммы вклада за этот период.

П р и м е р 8.1. Начальная сумма вклада составляет .#300, а ставка начисления за год 5%. Найти:

а) накопленную сумму и проценты за первые 3 года;

б) проценты за третий год;

в) накопленную сумму за 6 лет;

г) проценты за последние 3 года. Решение.

а) Накопленная сумма за 3 года, согласно формуле (8.2),

5,=300-(1,05)3=347,29(:-*)а

а проценты за тот же период

/. = - 5П = 347,29 - 300 = 47,29(.#).

б) По формулам (8.2) и (8.7) определяем проценты за 3-й год:

У, = - 52 = 300Г(1,05)3 - (1,05)" 1 = 16,54(,*').

в) По формуле (8.2) находим теперь накопленную сумму за 6 лет:

^ =300-(1,05)6 = 402,03 (:%). в) Наконец, по формуле (8.7) найдем проценты за последние 3 года:

/[3,6] = - = 402,03 - 347,29= 54,74 (.Я).

В проведенном анализе считалось, что период начисления совпада­ет с базовым периодом временной шкалы. Этого всегда можно добить­ся, выбрав единичный период шкалы, равный периоду начисления. Однако на практике их несовпадение встречается достаточно часто. Обобщим теперь описанную выше модель на случай, когда период на­числения не обязательно совпадает с единичным промежутком шкалы.

Выберем временную шкалу с базовым (единичным) временном периодом е, а также произвольный период И, который назовем перио­дом начисления. Его длину относительно выбранного базового периода обозначим через И:

Свяжем с выбранным периодом начисления некоторую процент­ную ставку, которую назовем ставкой за период начисления или просто ставкой начисления.

Формально ставка начисления описывается в дан­ной временной шкале парой

1-(*,/).

1 -

Первая компонента есть длина периода начисления (относительно выбранной временнбй шкалы); вторая — числовое значение ставки. Заметим, что величину И часто называют просто периодом начисления. В дальнейшем также для краткости будем использовать этот термин для И. Так, для годовой шкалы ставка

1,10%

означает ] 0%-ную полугодовую ставку.

В том случае, когда период начисления 11 совпадает с базовым периодом временнбй шкалы е, т.е. И ~ 1, ставка начисления называется нормированной.

Чтобы не загромождать изложение, снабдим обозначение / ставки начисления индексом /г, указывающим период начисления, к которо­му она относится, т.е. будем использовать обозначение для числового значения ставки начисления.

Для нормированных ставок, т.е. при И = 1, соответствующее обозна­чение ставки начисления будет / Однако в этом случае, как правило, опускают индекс в обозначении ставки и пишут просто /.

Рассмотрим динамику вклада с начальным состоянием периодом начисления И и ставкой начисления /А. Считая выполненны­ми условия, аналогичные условиям Г — 4°, при которых была выведена формула (8.2), согласно логике итерационного инвестирования, полу­чим, что состояние вклада в момент

I = Г. + пН>

п 0 '

являющийся концом /1-го периода начисления, задается выражением

5,,= (1 + 4)" (8.8)

или,поскольку

ТО

S,,=S,n Онр1. (8.9)

Формула (8.8), по существу, тождественна формуле (8.2). Различие состоит лишь в том, что в (8.2) единица измерения временных проме­жутков совпадает с периодом начисления. Иными словами, временные промежутки в (8.2) выражаются в терминах периода начисления, а в (8.8) — в терминах единичного промежутка временной шкалы.

Для нормированных ставок начисления (/?= 1) формулы (8.8) и (8.9) превращаются, естественно, в (8.2).

Важно понимать, что формулы (8.8) и (8.9) определены лишь для моментов времени Т = /0 + пИ, п е 14, образующих арифметическую прогрессию.

Содержательно эти точки представляют собой концы последова­тельных периодов начислений (относительно начальной точки /0). Назовем эти точки (моменты) кратными. Им соответствуют периоды длины

или в общем случае длины

кратные периоду начисления. Таким образом,

+ (8.10)

Выбирая начальный момент инвестирования /0 совпадающим с на­чальным моментом временной шкалы, т.е. го = 0 и (п = Г, получим упрощенные выражения

^=50(1 + Оя; (8.8')

+ (8.9')

Постоянство ставки начисления позволяет ввести коэффициент (множитель) роста за период начисления:

а=\ +1). (8.11)

С помощью коэффициента роста динамика накопления описывается равенствами

19-5169

или

. (8.13)

Выше для накопительной модели с годовой временной шкалой мы определили понятие процентов за год и за п лет. Аналогичные опреде­ления имеют место и в общем случае, когда единица временной шкалы и период начисления не совпадают Величина

к>\, (8.14)

называется процентами за к-й период начисления. Ясно, что

У, =54.„ОЧМ.., = (8.15)

Более общим образом можно определить проценты за любой крат­ный период [гА., /и], к < п:

(8.16)

Отсюда с учетом (8.8'), (8.11) и (8.12) следует, что

! ['*.'.] = (0 ■+ Г -')= \ {

<< | >>
Источник: Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф.. Финансовая математика: Учебник. — М.: Гардарики, - 624 с.. 2002

Еще по теме 8.2. Накопительная модель в схеме сложных процентов:

  1. Модели простых и сложных процентов
  2. 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов
  3. 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов
  4. 1.2 Модели развития операций по схеме сложных процентов 1.2.1 Стандартная схема сложных процентов
  5. 2.2. Наращение по схеме сложных процентов
  6. 3.2. Накопительные модели в схеме простых процентов: динамическая модель роста
  7. 7.2. Дискретная модель в схеме простых процентов с переменной ставкой
  8. 8.2. Накопительная модель в схеме сложных процентов
  9. 8.5. Учетные ставки в схеме сложных процентов
  10. 8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов
  11. 8.7. Эффективные ставки кредитных сделок и общее понятие ставки в схеме сложных процентов
  12. 8.8. Будущая и текущая стоимости денежных сумм в схеме сложных процентов
  13. 8.9. Стандартная схема сложных процентов
  14. Глава 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей в схеме сложных процентов
  15. Модели с переменным капиталом и потоки платежей в схеме сложных процентов
  16. 10.1. Дискретная накопительная модель в схеме сложных процентов
  17. Г л а в а 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков. Общая схема сложных процентов
  18. 11.3. Общая схема сложных процентов