§3.1. Начисление сложных годовых процентов

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при усло­вии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став­ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про­центам:

Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита­ла и т.д.),

S — наращенная сумма на конец срока ссуды,

п — срок, число лет наращения,

i — уровень годовой ставки процентов, представленный де­сятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны вели­чине А, а наращенная сумма составит Р + А = Р(\ + /)• К кон- Uy второго года она достигнет величины Р(1 + /) + Р(\ + /)/ =

Р(\ + /)² и т.д. В конце /?-го года наращенная сумма будет Равна

Часть из них получена за счет начисления процентов на про­центы. Она составляет

1_р = Р\{ 1 + /)" - (1 + пі)].

Как показано выше, рост по сложным процентам представ­ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрес­сии, первый член которой равен Р, а знаменатель — (1 + /). Последний член прогресии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

Величину (1 + /)^я называют множителем наращения (com­pound interest factor) по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Фрагмент такой таблицы приведен в табл. 2 Прило­жения. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет­ся как ACT/ ACT.

ПРИМЕР 3.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых? По формуле (3.1) находим

Рис. 3.1

Б = 1 ООО 000(1 + 0,155)⁵ = 2055464,22 руб.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров — / ил. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Здесь уместна следующая иллюстрация.

Очевидно, что очень высокая (инфляционная) процентная ставка может быть применена только для короткого срока. В противном случае результат наращения окажется бессмыслен­ным. Например, уже при / = 120% (а такая инфляционная став­ка не столь уж давно наблюдалась в России, правда для кратко­срочных ссуд) и п = 10 имеем чудовищный по размеру множи­тель наращения (1 + 1,2)¹⁰ = 2656.

Формула наращения по сложным процентам (3.1) получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле­ния. В этих случаях і означает ставку за один период начисле­ния (месяц, квартал и т.д.), а п — число таких периодов. На­пример, если і — ставка за полугодие, то п — число полугодий и т.д.

Формулы (3.1)—(3.3) предполагают, что проценты на про­центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен­тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке К а проценты на проценты — по ставке г * і В этом случае

Р + Рі[ 1 + (1 + г) + (1 + г)²+...+ (1 + г)"-¹].

Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче­скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем О + г). В итоге имеем

Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы­ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно ка­лендарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окон­чания ссуды находятся в двух периодах.

Алгоритм деления общей массы процентов легко сформули­ровать на основе графика, построенного для двух смежных ка­лендарных периодов (см. рис. 3.2). Общий срок ссуды делится

на два периода п_{ и п₂. Соответственно,

/= /, + /₂,

где /, = Р[( 1 + />, - 1)]; /₂ = Р( 1 + />,[(1 + />₂ - 1] = = Р[( 1 + /у " (1 + />,]•

ПРИМЕР 3.2. Ссуда была выдана на два года — с 1 мая 1998 г. по 1 мая 2000 г. Размер ссуды 10 млн руб. Необходимо распре­делить начисленные проценты {ставка 14% ACT/ACT) по кален­дарным годам. Получим следующие суммы процентов (в тыс. руб.): -244

за период с 1 мая до конца года (244 дня): 10 000(1,14³⁶⁵ - 1) =

= 915,4; Ж

за 1999 г.: 10 000 х 1,14 ³⁶⁵ х 0,14 = 1528,2;

^ 244

наконец, с 1 января до 1 мая 2000 г. (121 день): 10 000 х 1,14 ³⁶⁵ х

121

х (1,14³⁶⁵ - 1) = 552,4. Итого за весь срок — 2996 тыс. руб. Та­кой же результат получим для всего срока в целом:

10 000 х (1,14² - 1) = 2996.

Переменные ставки. Формула (3.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Не­устойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модерни­зировать "классическую" схему, например, с помощью приме­нения плавающих ставок (floating rate). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело — расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене­ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множи­тель наращения определяется как произведение частных, т.е.

5 = />(1 ₊ /₁)'"(1₊/₂р...(1₊/,)''^А, (3.5)

где /р /'25—5 ^ ^— последовательные значения ставок; п_{, л — периоды, в течение которых "работают" соответствующие ставки.

ПРИМЕР 3.3. Срок ссуды — 5 лет, договорная базовая процент­ная ставка — 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся годы. Множитель наращения в этом случае составит

д = (1 + 0,125)²{1 + 0,1275)³ = 1,81407.

Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го­дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется непосредственно по формуле (3.1). Второй, сме­шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

5= 1 + /)*(1 + Ы), (3.6)

где п = а + Ь — срок ссуды, а — целое число лет, Ь — дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио­дом начисления является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что мно­житель наращения по смешанному методу оказывается не­сколько больше, чем по общему, так как для п < 1 справедли- ^Во соотношение 1 + т > (1 + /)". Наибольшая разница наблю­дается при Ь = 1/2.

ПРИМЕР 3.4. Кредит в размере 3 млн руб. выдан на 2 года и 160 160

дней (/? = 3 "т^г = 3,43836 года) под 16,5% сложных годовых. 365

Сумму долга на конец срока определим по формуле (3 1): Б = 3 ООО ООО х 1,165³'⁴³⁸³⁶ = 5071935,98 руб., в свою очередь, смешанный метод дает

Б ~ 3 ООО ООО х 1,165³ х (1 + 0,43836 х 0,165) = 5086595,98 руб.