<<
>>

§3.1. Начисление сложных годовых процентов

Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово- кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, приме­няют сложные проценты (compound interest).
База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоян­ной — она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсо­лютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последователь­ное реинвестирование средств, вложенных под простые про­центы на один период начисления (running period). Присоедине­ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при усло­вии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став­ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про­центам:

Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита­ла и т.д.),

S — наращенная сумма на конец срока ссуды,

п — срок, число лет наращения,

i — уровень годовой ставки процентов, представленный де­сятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны вели­чине А, а наращенная сумма составит Р + А = Р(\ + /)• К кон- Uy второго года она достигнет величины Р(1 + /) + Р(\ + /)/ =

Р(\ + /)2 и т.д. В конце /?-го года наращенная сумма будет Равна

Часть из них получена за счет начисления процентов на про­центы. Она составляет

1р = Р\{ 1 + /)" - (1 + пі)].

Как показано выше, рост по сложным процентам представ­ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрес­сии, первый член которой равен Р, а знаменатель — (1 + /). Последний член прогресии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

Графическая иллюстрация наращения по слож­ным процентам представлена на рис. 3.1.
У /2
п2
Рис. 3.2

Величину (1 + /)я называют множителем наращения (com­pound interest factor) по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Фрагмент такой таблицы приведен в табл. 2 Прило­жения. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет­ся как ACT/ ACT.

ПРИМЕР 3.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых? По формуле (3.1) находим

(3.3)

Рис. 3.1

(3.1)

(3.2)

S= Р( 1 + /)". Проценты за этот же срок в целом таковы: I — S - Р = /4(1 + /)" - 1|.

Б = 1 ООО 000(1 + 0,155)5 = 2055464,22 руб.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров — / ил. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Здесь уместна следующая иллюстрация.

Ос­тров Манхэттен, на котором расположена центральная часть Нью-Йорка, был куплен (а точнее выменен) за 24 долл.[4] Стои­мость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась пример­но в 40 млрд долл., т.е. первоначальная сумма увеличилась в 1,667 х 109 раз! Такой рост достигается при сложной ставке, равной всего 6,3 % годовых.

Очевидно, что очень высокая (инфляционная) процентная ставка может быть применена только для короткого срока. В противном случае результат наращения окажется бессмыслен­ным. Например, уже при / = 120% (а такая инфляционная став­ка не столь уж давно наблюдалась в России, правда для кратко­срочных ссуд) и п = 10 имеем чудовищный по размеру множи­тель наращения (1 + 1,2)10 = 2656.

Формула наращения по сложным процентам (3.1) получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле­ния. В этих случаях і означает ставку за один период начисле­ния (месяц, квартал и т.д.), а п — число таких периодов. На­пример, если і — ставка за полугодие, то п — число полугодий и т.д.

Формулы (3.1)—(3.3) предполагают, что проценты на про­центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен­тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке К а проценты на проценты — по ставке г * і В этом случае

Р + Рі[ 1 + (1 + г) + (1 + г)2+...+ (1 + г)"-1].

См.: Томас Д. Воротилы финансового мира. М.: Прогресс, 1976.

Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче­скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем О + г). В итоге имеем

Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы­ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно ка­лендарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окон­чания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед­нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз­никает задача распределения начисленных процентов по пери­одам.

Алгоритм деления общей массы процентов легко сформули­ровать на основе графика, построенного для двух смежных ка­лендарных периодов (см. рис. 3.2). Общий срок ссуды делится

на два периода п{ и п2. Соответственно,

/= /, + /2,

где /, = Р[( 1 + />, - 1)]; /2 = Р( 1 + />,[(1 + />2 - 1] = = Р[( 1 + /у " (1 + />,]•

ПРИМЕР 3.2. Ссуда была выдана на два года — с 1 мая 1998 г. по 1 мая 2000 г. Размер ссуды 10 млн руб. Необходимо распре­делить начисленные проценты {ставка 14% ACT/ACT) по кален­дарным годам. Получим следующие суммы процентов (в тыс. руб.): -244

за период с 1 мая до конца года (244 дня): 10 000(1,14365 - 1) =

= 915,4; Ж

за 1999 г.: 10 000 х 1,14 365 х 0,14 = 1528,2;

^ 244

наконец, с 1 января до 1 мая 2000 г. (121 день): 10 000 х 1,14 365 х

121

х (1,14365 - 1) = 552,4. Итого за весь срок — 2996 тыс. руб. Та­кой же результат получим для всего срока в целом:

10 000 х (1,142 - 1) = 2996.

Переменные ставки. Формула (3.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Не­устойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модерни­зировать "классическую" схему, например, с помощью приме­нения плавающих ставок (floating rate). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело — расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене­ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множи­тель наращения определяется как произведение частных, т.е.

5 = />(1 + /1)'"(1+/2р...(1+/,)''А, (3.5)

где /р /'25—5 ^ последовательные значения ставок; п{, л — периоды, в течение которых "работают" соответствующие ставки.

ПРИМЕР 3.3. Срок ссуды — 5 лет, договорная базовая процент­ная ставка — 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся годы. Множитель наращения в этом случае составит

д = (1 + 0,125)2{1 + 0,1275)3 = 1,81407.

Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го­дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется непосредственно по формуле (3.1). Второй, сме­шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

5= 1 + /)*(1 + Ы), (3.6)

где п = а + Ь — срок ссуды, а — целое число лет, Ь — дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио­дом начисления является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что мно­житель наращения по смешанному методу оказывается не­сколько больше, чем по общему, так как для п < 1 справедли- Во соотношение 1 + т > (1 + /)". Наибольшая разница наблю­дается при Ь = 1/2.

ПРИМЕР 3.4. Кредит в размере 3 млн руб. выдан на 2 года и 160 160

дней (/? = 3 "т^г = 3,43836 года) под 16,5% сложных годовых. 365

Сумму долга на конец срока определим по формуле (3 1): Б = 3 ООО ООО х 1,1653'43836 = 5071935,98 руб., в свою очередь, смешанный метод дает

Б ~ 3 ООО ООО х 1,1653 х (1 + 0,43836 х 0,165) = 5086595,98 руб.

<< | >>
Источник: Четыркин Е. М.. Финансовая математика: Учебник. — 4-е изд. — М.: Дело, - 400 с.. 2004

Еще по теме §3.1. Начисление сложных годовых процентов:

  1. СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  2. СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
  3. 1.3.2. Сложные проценты
  4. Расчет с применением сложных процентных ставок
  5. 3.2. Элементы теории процентов
  6. 3.5. Расчет показателей ренты при осуществлении платежей и начислении процентов несколько раз в году
  7. 7.2.6. ЭФФЕКТИВНАЯ ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  8. Начисление сложных процентов несколько раз в течение года
  9. Непрерывное начисление сложных процентов
  10. §3.1. Начисление сложных годовых процентов
  11. Начисление годовых процентов при дробном числе лет
  12. 1.2.2Периодическое начисление сложных процентов
  13. 2.2. Наращение по схеме сложных процентов