<<
>>

Лекция 4: ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ: ПОСТОЯННЫЕ РЕНТЫ

В современной финансовой практике часто применяются не отдель­ные или разовые платежи, а некоторая их последовательность во времени - денежный поток. Это, например, погашение задолженности в рассрочку, арендная плата, выплата процентов, дивидендов, пенсий, страховых вы­плат и т.п.
Если выплаты ежегодные, то такой поток платежей называются аннуитетом, если платежи производятся несколько раз в году - рентой.

Поток платежей характеризуется следующими параметрами:

член ренты /? - размер отдельного платежа;

период ренты - временной интервал между двумя последова­тельными платежами;

срок ренты п - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода;

процентная ставка /;

число р платежей в году;

частота т начисления процентов.

Ренты классифицируют по разным критериям, выделяют:

ренты немедленные (начало срока ренты, и начало действия контракта совпадают) и ренты отсроченные;

ренты с ежегодньт начислением процентов (т=1), начисле­нием процентов т раз в году и непрерывным начислением процентов;

ренты с постоянными и переменными членами;

ренты конечные и бесконечные. Если срок ренты более 50 лет, рента считается вечной.

рента обычная или постнумерандо, если платежи производят­ся в конце периода; рента пренумерандо, если платежи производятся в на­чале периода.

Анализ потока платежей предполагает расчет или наращенной сум­мы или современной стоимости. Наращенная сумма потока платежей Л' - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока сложными процентами.

$ = + (4.,)

1=1

где К, - ряд платежей, имеющих знак «плюс» или «минус»; п, - время выплаты с номером / = ],2,...Д;

к - количество выплат; пк -общий срок выплат;

I - сложная процентная ставка наращения (начисляется один раз в году, выплаты производятся в конце периода).

Современная стоимость потока платежей А - это сумма всех вы­плат, дисконтированных на начало срока этого потока.

Современная стои­мость потока платежей эквивалентна в финансовом смысле всем платежам, которые охватывает поток.

л1

'-1 . гае у"' = ^уГ (4-2)

В связи с этим данный показатель находит широкое применение в разнообразных финансовых расчетах: планирование погашения долго­срочных займов, реструктурирование долга, оценка и сравнение эффек­тивности производственных инвестиций и т.п.

Несложно убедиться в том, что современную стоимость потока пла­тежей можно получить дисконтированием наращённой суммы:

5ущ=А. (4.3)

Простая рента обладает двумя важными свойствами:

все его п-элементов равны между собой: Л, = /?, = ... = НЛ = К;

отрезки времени между выплатой/получением сумм К одинаковы.

Рассмотрим р-срочную простую ренту поапнумерандо с начисле­нием процентов т раз в году, причём выплаты не совпадают со временем начисления процентов (характеристики ренты п, /, т ф р ф 1).

В этом случае ежегодно р раз производятся платежи через равные промежутки времени. Каждый платеж равен II/р, где Я - годовая выплата. Проценты начисляются т раз в году по ставке / , т.е. процент за один пе­риод времени равен — %, срок ренты равен »лет (рис.11).

т

О 1 2

т - 1 пі

1 2 З

р- 1 р

1 2 п

Рис.11. Расположение моментов выплат и начисления процентов на временной оси.

Выведем формулу, выражающую наращенную к моменту п сумму этой ренты. Наращённая сумма на все выплаты года к концу одного года определяется следующим образом:

1 + І-І [1] *

я

р

Р Р

т

ч

. \2mjp

_ я я(л ./Xір яґ яі =—+—11+— +- т) р

\ т;

На последний платеж проценты не начисляются, и он входит в на­ращенную сумму без изменения, т.е. в размере Я/р. На предпоследний платеж начисляются проценты по ставке | за период равный 1/р части го­

да, и наращенная к моменту п на этот платеж сумма равна —

На

)

т

V

Р

второй с конца платеж проценты начисляются по ставке J за период, рав­ный 2/р части года и наращенная к моменту п на этот платеж сумма равна

д/ I у т!р \

— 1 + ~ .

Последний платеж делается за п— лет до момента п, т.е. на-

ут| п — Р

Р\ т) Р

К ( /

ращенная в момент п на этот платеж сумма, равна — 1 + —

Р к т

После несложных преобразований получим:

. > тп -1
т. ;
Л т/р -]
т

1 +

/ , ч тп-тір+т р

I + ^

_ Я V гп

(4.4)

г • \т/р

1+ 7 -1 т )

Вся наращенная на ренту сумма равна:

]_ т

5 = Л, 1 +

+ Я,=

+ 1 +

т

+ ... + ЯА 1 + -

т

Количество начислений до конца ренты на наращённую сумму пер­вого года равно {п-\)т, на наращённую сумму второго года (п-2... , на наращённую сумму предпоследнего года т, на наращённую сумму по­следнего года проценты не начисляются и она составит Л,. После упроще­ния получим:

I 1 +

1 +

+

К

Р '

т)

т )

т

(4.5)

' / Х/р 1+ '

-1 1 +

-1

+

Р

т

т

т

J

\

При вычислениях использовалась формула возрастающей геометри­ческой прогрессии:

,$' = ——, где первый член прогрессии а] =1, х /'■ 1+

V -

(4.6)

V -

1 +

т

\ т)

^ где

т

Современная стоимость всей ренты будет равна:

у'"" -1 _

у'" -1 ~

Г ; Л-'"" 1 + ^

V

1-

vя'" -\

к р

у -1

(4.7)

= И-

ш ., т

у'" -1

г

/ Г

1 +

V т

1-1+

Р

т

Л' = К ■ *

(4.8)

Получив формулы

т

V

где і-

А'"

т

/ т

1 +

-1

Р

- коэффициент наращения ренты;

І!>)

(4.9)

и

А = Я-а

ґ

1 + ^ V »К

1-

(р) -,

где а

- коэффициент наращения ренты (значе­

Р

V т)

ния коэффициентов определяют по таблицам), можно рассмотреть частные случаи постоянной ренты.

Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются т т раз в году, число выплат в году р равно числу начислений процентов т (Харак­теристики ренты Я , п, /, т = р ф 1)

(1+ 7 у -

т

(4.10)

Наращенная сумма ренты имеет вид:

Современная величина ренты вычисляется по формуле:

I- 1 +

т

(4.11)

3

Пример 4.1. Рассмотрим 5-летнюю обыкновенную ренту постнуме­рандо с платежами по 300 рублей. Найти наращенную сумму и современ­ную стоимость ренты, если годовая процентная ставка равна 10%. Процен­ты начисляются ежемесячно, выплаты осуществляются поквартально.

-1

Для данной задачи Я = зоо, п = 5, т = 12, р = 4, / = 0,1.

А = Я-

1+ у Я { т

Согласно формуле наращенная сумма равна: Л' =

"иа

V т

-1

+ -

300

р

= 1919.88.

12 4

4 Ґ, ОД I +

В нашем случае:

(1 н- /)' — 1

тов 1П раз в год составит: л^, = —-—

Современная стоимость для р-срочной ренты с начислением процен-

Р

12-5

= 1166,88.

1 +

(і+/)і - і

0,1

Или в нашем случае: А = зоо-р-

0,1V 12

Итак, наращенная сумма равна 1919,88 рублей, современная стои­мость ренты - 1166,88 рублей.

т = I

1

Годовая рента постнумерандо определяется характеристиками: член ренты К, срок ренты", ставка7, число выплат в году Р = ', число на­

числении процентов в году

Построим схему наращения членов ренты на временной оси (рис. 12). Я Я Я Я

о

кл+п3

ЯП+ІГ

ип+п1

Рис.12. Расположение моментов выплат и начисления процентов на временной оси.

Общая формула наращенной суммы ренты (легко получаемая из об­щей формулы при заданных условиях Р = 1, т - 1, = 1) будет иметь вид:

/ . \ тп

(1+ /)"-!

К

V

(4.12)

\ =

= К

V

т

\ р

где . —!_ _ коэффициент наращения ренты.

Современная ценность ренты равна современной ценности её нара­щенной суммы, т.е.

А = Л' - (і -и) -Л-л... •(!+/) " + »^ИМ" (4.13)

і і

где аігі =-—^ +^ - коэффициент приведения ренты, показываю­/

щий, сколько рентных платежей (її.) содержится в современной величине; А - современная ценность денег в момент 0.

Годовая рента, постнумерандо, начисление процентов т раз в го­ду, выплаты р один раз в году определяется характеристиками; член рен­ты Я, срок ренты п, ставка /, число выплат в году р = 1, число начислений процентов в году т ф 1.

В этом случае платеж Я делается один раз в конце каждого года, а проценты начисляются т раз в год. Это означает, что применяется каждый раз ставка і/т, где / - номинальная ставка процентов.

Общая формула наращенной суммы ренты (получаемая из общей формулы при заданных условиях р = I, шф\) будет иметь вид:

\ т

Л* = я

(4.14)

-1

Ґ /V""

V т)

Г /V" 1 + ^

-1

Или $ = №

где

НІН,

1

- коэффициент нараще-

V

У

т

ния ренты.

Современная величина ренты вычисляется по формуле:

- л

1- 1 +

у

(4.15)

V

т

А = Н-

^■'Г-і

т

г Л-'"" 1 + ^- V т)

а

•- коэффициент приве-

V[2]

(

Или А - Яя // •, где

1 +

V т)

дения ренты.

Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются один раз в году, вьиыаты р раз в году определяется характеристиками: член ренты к, срок ренты и, ставка і, число выплат в году р ф і , число начис­лений процентов в году т = 1.

Так называется рента, при которой р раз ежегодно через равные промежутки времени производятся платежи, равные К/р. На накоплен­ную сумму начисляются сложные проценты по годовой ставке /. Нара­щенная за п лет сумма всей ренты равна:

, р

И.і ■

Л' = — ■

„ Л (1 + /)" -1

(4.16)

Р (1 + /)р-1

О+ '0"-1

. р

где -V/

(1 + /)7-1

коэффициент наращения р-срочной ренты

при т = 1.

Современная ценность ренты равна современной ценности её нара­щенной суммы, т.е.

Р

л = + /Г = К г(1 + /Г"' и 0 + Г = л г"(|+!')Ип = , (4.17)

(1+/)-" -1

п{р) -

где а„,і ~

(і+ф-1

р

В табл.5 обобщены результаты, полученные для расчета наращенной суммы и современной стоимости для рент постнумерандо.

коэффициент приведения ренты.

платежей

Таблица 5

Количество 1 Количество г

начислении

1-0+УУ

7?

К

т -1

О+ ./)"-!

р = I

+ -

т

А

т > 1

ул

-1

1 +

т

1+ " л? ^

к (1 + .у)"-1

/и = I

0+7 Г

Р (1 + у)' -1

(

т - р

V т

К-

V т)

1-1 +

1 + Л I т

/Я )

/

т ф р

\>П1Р

V

I /и

Г-1

т

-1

Если проценты начисляются непрерывно, характеристиками ренты являются Н, п, 8, р = I. Сумма К выплачивается один раз в конце года и на выплаченную сумму начисляются непрерывные проценты по ставке (силе роста) 8. Найдем наращенную в момент п сумму этой рен­ты.

/

Формулы для вычисления наращённой суммы и современной стои­мости ренты с непрерывным начислением процентов получают как пре­дельные случаи:

\ я \

Нт 1 +

т ]

1 +

с

(4.18)

]_ т

1цп . / = Нт —

/

V р

е/р -1

Р

Нт 1

+ -

Р

т

т >•-'! ■/ т >" /

Р

V т.

Заменив номинальную ставку / на силу роста 5, получим:

5 =

(4.19)

ПьО і

-1

Лр)

где

«V

коэффициент наращения ренты.

(4.20)

Р с"> -

Современная стоимость ренты равна А = Яа{пр[ч,

где аИ = Іііп а(р) = Ііт

Ґ ; \ ""' 1+ V '»У

1-

1-е"

- коэффициент

/

7

р

+ -I

V т)

р

т > ' тп, ■'/ т > «■■

приведения ренты.

-1

(4.21)

Л' = , = А' .

е* -I 1-е св -\

(4.22)

А = На,. , = К

Если р = 1, то

Связь между д и / можно найти, составив уравнение эквивалентно-

+ -

т

. Равенство обращается в тождество при:

сти:

{ Г>/ о -'Р - ■

Г-1 /« )

Р

Р

1Н = е .

т )

Отсюда следует:

5 = т 1п 1 + —

V т

/ = т\ е ' -1

Если проценты начисляются непрерывно и платежи ренты произво­дятся непрерывно, то, переходя к пределу, получим:

е'*' — 1 е*-1

(4.25)

6

*/ л

Ііт р\ е ' р -1

У

1-е

а

п: ■'-

р-срочная рента:

Г : \ "'" +

V М/

Я

(4.36)

А,. = Ііт Я ■

Н > I:

Л

-1

-1

1 +

Р

т

1 +

т

л. А.

(4.37)

Если р = т, то

Лизинг - это один из способов ускоренного обновления основных средств. Он позволяет предприятию получить в свое распоряжение средст­ва производства, не покупая их и не становясь их собственником. Недоста­ток лизинга - это его более высокая стоимость по сравнению с банковски­ми кредитами, так как уплачиваемые лизинговые платежи предприятия- лизингополучателя лизинговому учреждению покрывают амортизацию имущества, стоимость вложенных денег и вознаграждение за обслужива­ние лизингополучателя.

В качестве альтернативного финансового приема лизинг заменяет источники долгосрочного и среднесрочного финансирования, поэтому

преимущества и недостатки лизинга сравнивают с преимуществами и не­достатками долгосрочных и среднесрочных кредитов.

Пусть п срок реализации проекта, Кн - ставка налога на прибыль, Е0 - предоплата, г - процентная ставка по кредиту, Q - остаточная стоимость объ­екта, А, - периодический лизинговый платеж, S, - периодический платеж по погашению кредита, /' - проценты по кредиту в соответствующем периоде, А

- амортизационные начисления в соответствующем периоде, / 1,2,.. ,,п.

Тогда чистая приведенная стоимость посленалоговых платежей в

случае лизинга равна L = E0 + ( 1 - Кн Ц /{1 + /-)'. (4.38)

; 1

Если периодические лизинговые платежи постоянны (L=Ln = const), то мы получаем простую ренту постнумерандо. Тогда чистая приведенная стоимость посленалоговых лизинговых платежей равна:

, ,■ „ , 1-1/(1 +Г)" (А

/, = h0 + (I - К„)/,, ^ . (4.39)

г

В случае покупки за счет кредита чистая приведенная стоимость по­сленалоговых платежей равна:

S = д;, + £ S, /(I + ГУ +(1 - кн )£ h /(I+ГУ- к„ £ А, /(I + r)' -Q /(1 + г)". (4.40)

i=i f=i (=i

Если периодические платежи по погашению кредита постоянны (S=Sn= const), а амортизационные начисления равны (А1 = Ав = const), то чистая приведенная стоимость посленалоговых платежей в случае покупки

1 _ | /И + /-у " р ()

за счет кредита равна .V = Па + (S{l - КиА{)) — + (I - ЛГ„)£ —'— .

Г , J (1 + /') (1 + /')

Если LS, то выгоднее покупка за счет кредита.

Пример 4.2. Предприятие рассматривает вопрос о приобретении оборудования. Первый варинт - лизинг за 600 тыс. руб. с рассрочкой пла­тежа в течение четырех лет. Второй вариант - покупка на заводе- изготовителе за 480 тыс. руб. Ставка налога на прибыль равна Кн = 40%. Предоплата Е0 и остаточная стоимость оборудования Q равны нулю. Можно получить кредит в банке под г = 12% годовых. Используется рав­номерное начисление износа. Сравним эти варианты.

В случае лизинга ежегодный лизинговый платеж равен Lu = 600/4 = 150 тыс. руб. Тогда чистая приведенная стоимость посленалого- вых лизинговых платежей L равна

L = Е, + (1 -КИ)Ц 1~1/(1 + /')" = 0 + (1 - 0,4) ■ 150 •1 + 0,12)4 « 273,36 ТЫС.руб.

г 0,12

Определим график погашения кредита при покупке оборудования. Заполним таблицу (табл.6).

Таблица 6

Показатели, тыс. руб. ГодО Год 1 Год 2 Год 3 Год 4
Возврат кредита .V,, - 120 120 120 120
Остаток долга 480 360 240 120 0
Проценты по кредиту/'. - 57,6 43,2 28,8 14,4

Таблица заполняется следующим образом: ежегодный возврат кре­дита \ = 480/4 = 120тыс. руб., каждое число 2-й строки, начиная со 2-го столбца, есть разность предыдущего числа второй строки и числа из этого же столбца предыдущей строки, каждое число 2-й строки умножаем на 0,12 и результат пишем в следующем столбце 3-й строки.

Ежегодные амортизационные начисления равны Ап = (первоначаль­ная стоимость - остаточная стоимость)/4=(480-0)/4=120 тыс. руб.

Тогда чистая приведенная стоимость посленалоговых платежей в случае покупки за счет кредита равна:

л' = /■;, + (л;, - кчАи)1 ~'/{1 + г) + (і - к„)У г /(і + гу-д/о + гу =

Г " Т\

п п , 1-1/(1 + 0.12)' „ 57.fi 43.2 28.8 14.4 ^ п „ос

0+ (120-0.4-120) — + (1-0.4)- + г + г + -0 = 288 тыс.руб.

0.12 и.12 1.12" 1.12Л 1.12 у

Так как 273,36

<< | >>
Источник: Шиловская H. A.. Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций / H.A. Шиловская. - Архангельск: Сев. (Аркт.) фед. ун-т, -104 с.. 2011

Еще по теме Лекция 4: ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ: ПОСТОЯННЫЕ РЕНТЫ:

  1. Лекция 4: ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ: ПОСТОЯННЫЕ РЕНТЫ
  2. Лекция 5: ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ: ПЕРЕМЕННЫЕ РЕНТЫ
  3. Лекция 7: МЕТОДЫ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГОВ
  4. ГЛОССАРИЙ