§6.6. Изменение параметров рент

Изменение хотя бы одного условия ренты по существу означает замену одной ренты другой. Как уже отмечалось выше, такая замена должна базироваться на принципе финансовой эквивалентности.

Из этого следует равенство современных стоимостей обеих рент. Что касается процентной ставки, то она может быть сохранена или изменена. Например, кредитор в обмен на увеличение срока может потребовать некоторого ее увеличения. Отправляясь от указанного равенства, нетрудно определить параметры заменяющей ренты. Рассмотрим несколько случаев такой замены.

Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется немедленная рента постнумерандо с параметрами процентная ставка равна /. Необходимо отсрочить выплаты на / лет. Иначе говоря, немедленная рента заменяется на отсроченную с

параметрами /?₂, п₂, / (/ не входит в срок ренты). Здесь возможны разные постановки задачи в зависимости от того, что задано для новой ренты. Если задан срок, то определяется /?₂, и наоборот. Рассмотрим первую задачу при условии, что п₂ = п^ = п. Для этого случая справедливо следующее равенство:

Откуда

К₂ = + /)'. (6.37)

Иначе говоря, член новой ренты равен наращенному за время I члену заменяемой ренты.

В общем случае, когда п₂ * п_{, из равенства А_{ = Л₂ следует

*2 - + (6.38)

где / — продолжительность отсрочки.

ПРИМЕР 6.13. Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями = 2 млн руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока самой ренты. Процентная ставка, принятая для пролонгирования, — 20% годовых Согласно (6.37) получим

Я₂ = 2 х 1,2² = 2,88 млн руб.

Таким образом, отказ от выплаты немедленной ренты увеличивает ежегодные выплаты на 0,88 млн руб. Если же одновременно со сдвигом начала выплат срок ренты увеличивается, скажем, до 11 лет вместо 8 (п = 11), то по формуле (6.38) находим

Я₂ = Я,-^ х 1,2² = 2 х ^3>83716 х 1,22 ₌ 2 55393 _{млн руб}.

^{2 1 а}11.20 4,32706

Определим теперь срок новой ренты при условии, что размер члена ренты остается без изменений. Пусть выплата ренты

откладывается на I лет. Тогда из равенства

находим

-Іп{1 - [1 - (1 + /)-"](1 + /)'}

-1п[1 - (1 - 1,08~⁵)1,08³] 1п1,08

------- ₍₆ 3₉₎

1п(1 + і)

ПРИМЕР 6,14. Рента с условиями Я - 2 млн руб., п = 5 лет, / = 8% откладывается на три года без изменения сумм выплат. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат. По формуле (6.39) получим

п₂ =--------------- ГГГтЬ;------- ^?------ = ⁶>689 года.

Таким образом, отказ от немедленной выплаты ренты обойдется в 1,7 года увеличения срока ренты. Пусть продолжительность новой ренты (без учета отсрочки) равна 6 годам. Современная стоимость такой ренты с учетом отсрочки равна

А₂ = Яа_6;81/³ = 2000 х 4,6288 х 1,08~³ = 7339,58 тыс. руб.

Однако у заменяемой ренты современная стоимость равна 7985,42 тыс. руб. Разность в сумме 645,84 тыс. руб. следует уплатить в начале действия контракта или с соответствующим наращением в любой иной момент.

Замена годовой ренты на р-срочную. Пусть годовая немедленная рента с параметрами п_{ заменяется на /7-срочную с параметрами /?₂, п₂, р. Если заданы срок заменяющей ренты, ее периодичность и ставка, то

Я₂ = Л,-^-. (6.40)

п₂

Причем, если п₂ = п_х = я, то

_ РІ0 + іУ^/р- 1] а\ і

я;/

Откуда

р\{\

К₂ = /?,----------------------------- . (6.41)

ПРИМЕР 6.15. Пусть Я₁ = 2, п₁ = п₂ = л. Если годовая рента по- стнумерандо заменяется, скажем, на квартальную, то при неиз

менности срока ренты эквивалентность замены достигается только за счет корректировки размера выплат При условии, что / = = 20%, находим

4(1,2^1/4 - 1) 0,2

Я₂ = 2 х------------------------- 1,86541.