<<
>>

8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов

Выше подробно рассмотрены инвестиционные процессы, описы­ваемые непрерывной моделью накопительного счета в схеме сложных процентов.

Каждый из этого класса процессов однозначно определяется на­чальным состоянием или некоторой ставкой (процентной или учетной).

Динамика процесса при этом описывается уравнением

где а — нормированный (эффективный) коэффициент роста; и — нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующие ставке, характеризующей этот процесс. Выбирая конкретный вид став­ки, получим конкретное представление динамики процесса в терминах выбранной ставки.

Выше были определены четыре основных типа процентных ставок. Каждая ставка определяет соответствующий коэффициент роста а:

— нормированная эффективная ставка /';

д=1 + /; (8.79)

— ставка начисления (фактическая) / за период начисления Л:

+/аУ'а; (8.80)

— номинальная (нормированная) ставка /(т) = I с кратностью начисле­ний т и периодом начисления А — \/т:

\ т у

— номинальная (нормированная) непрерывно начисляемая ставка} — /(оо):

а = &. (8.81)

Были также определены четыре типа учетных ставок, каждой из которых соответствует коэффициент дисконтирования у:

— нормированная эффективная учетная ставка Ф.

(8.82)

— учетная ставка с!н за учетный период А:

и = (8.83)

— номинальная (нормированная) ставка с1(т) = ё(И) с кратностью учета т и периодом учета А = 1 /т:

1

( м Г

; (8.84)

т у

— номинальная (нормированная) непрерывно учитываемая ставка 8~

V = е-5. (8.85)

Заметим, что все эти определения предполагают выбор исходной временной шкалы Т, термин нормированный означает отнесенность к единичному (базовому) периоду этой шкалы.

Итак, каждая из перечисленных ставок определяет соответствую­щий процесс накопления (8.78).

Вполне возможно, что ставки как из одного, так и из различных классов могут порождать идентичные процес­сы роста. Такие ставки назовем эквивалентными (в широком смысле).

Определение 8.2. Две ставки (процентные и/или учетные) называют­ся эквивалентными (в широком смысле), если для любого начального состояния (*0, 50) процессы роста (8.78), порожденные этим состояни­ем и данными ставками, тождественны.

Отсюда следует, что ставки будут эквивалентными, если соответ­ствующие коэффициенты роста и/или коэффициенты дисконтирова­ния совпадают. Эквивалентность ставок обозначим символом

Данное определение эквивалентности позволяет отождествлять как процентные, так и учетные ставки различных классов. Поэтому мы назвали это отношение эквивалентности эквивалентностью в широком смысле.

Под эквивалентностью в узком смысле будем понимать эквивалент­ность двух ставок одного класса, например ставок начисления или номинальных учетных ставок и т.д.

Заметим, что для нормированных эффективных ставок как процент­ных, так и учетных (узкая) эквивалентность означает попросту их совпадение.

В самом деле, коэффициент роста а однозначно определяет соот­ветствующую эффективную процентную ставку

/= У

( ;Н > 1+ —
(8.94)
1
р )
т )

О нГ =

где снова каждое равенство из цепочки дает конкретный вид эквива­лентности. Например, равенство

( М У

і

р )

означает эквивалентность

ставки начисления с периодом И и /7-кратно учитываемой учетной ставки Фр).

Теоретически восемь различных классов ставок дают 8 х 8 = 64 конкретных вида эквивалентности. Из восьми видов узких эквивапент- ностей (для ставок одного вида) четыре означают равенства, осталь­ные — нетривиальные эквивалентности. Широкие (перекрестные) эк­вивалентности ставок различных видов описываются равенствами из объединенной цепочки равенств (8.89) и (8.94). Все эти эквивалентно­сти (их 8 х 7 = 56) определяются одной из возможных комбинаций. Конечно, нет никакого смысла выписывать их все. Принцип определе­ния этих эквивалентностей чрезвычайно прост: каждое условие эквива­лентности означает равенство коэффициентов роста, выраженных через соответствующие ставки.

Пример 8.14. Пусть /' = 10% — месячная ставка начисления (/г, = 1/12); = 3,31 % — квартальная (/г, = 1/4). Являются ли эквивалентными эти ставки? Найти месячную

и квартальную учетные ставки, эквивалентные в широком смысле ставкам и соот­ветственно.

Решение. Эти ставки эквивалентны, поскольку, согласно (8.91),

(1 + 0,1)12 = (1 + 0,331)4 = 3,138.

Эффективная годовая ставка, эквивалентная этим ставкам начисления, равна 2,138, или 213,8%.

Ставки /'. и /2 соответственно эквивалентны в широком смысле месячной ставке

^^ЛИ-^Л= о,0909

и квартальной

и = = о,2486.

1/4 1 + /і/л 1 + 0,331

1/4

Пример 8.15. Показать, что годовая номинальная ставка /(,!г|=120% с ежемесяч­ным (й ~ 1/12) начислением эквивалентна годовой номинальной ставке /;",= 132,4%

с ежеквартальным (Н2 = 1/4) начислением.

Решение. В самом деле, эти ставки порождают месячную

и квартальную ^

■й)

/2=-*- = 0,331

ставки начисления, которые, согласно предыдущему примеру, эквивалентны.

Эквивалентность ставок позволяет однозначно выразить значение

одной из эквивалентных ставок через другую. Так, из эквивалентности

/Л и у, задаваемой равенством

/. . \У*і л . (1 + Ч) =(1+'Й1) ,

ползаем

Задав ставку за единичный временной промежуток

можно получить целое семейство {/й} эквивалентных і[ ставок начисле­ния для произвольных периодов начисления /г:

<< | >>
Источник: Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф.. Финансовая математика: Учебник. — М.: Гардарики, - 624 с.. 2002

Еще по теме 8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов:

  1. 1.3.2. Сложные проценты
  2. Вопрос 76. Статистика процентных ставок. Простые и сложные проценты
  3. 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов
  4. 2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов
  5. 1.2 Модели развития операций по схеме сложных процентов 1.2.1 Стандартная схема сложных процентов
  6. 2.2. Наращение по схеме сложных процентов
  7. 6.3. Относительная приводимость и эквивалентность потоков платежей в схеме простых процентов
  8. 8.2. Накопительная модель в схеме сложных процентов
  9. 8.5. Учетные ставки в схеме сложных процентов
  10. 8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов
  11. 8.7. Эффективные ставки кредитных сделок и общее понятие ставки в схеме сложных процентов
  12. 8.8. Будущая и текущая стоимости денежных сумм в схеме сложных процентов
  13. 8.9. Стандартная схема сложных процентов
  14. Глава 10. Модели с переменным капиталом и потоки платежей в схеме сложных процентов