<<
>>

4.2. Эквивалентность процентных ставок

Для нахождения значений эквивалентных процентных ставок следует составлять уравнение эквивалентности.

Эквивалентность простой процентной и простой учетной ставок.

Исходные уравнения для вывода эквивалентности ГУ = РУ (1 + п • і) и ГУ = РУ (1 - п • С)- 1.

Если результаты наращения равны, то получаем уравнение РУ (1 + п • і) = РУ(1 - п • С)- 1. Отсюда і = С/(1 - п • С)~ 1 и С = і/(1 + п • і)-1. Для одних и тех же параметров ссуды условие эквива­лентности приводит к тому, что С < і. При этом с ростом срока финансо­вой операции различие между ставками увеличивается.

Пример 4.1. Определить простую учетную ставку, эквивалентную ставке обычных процентов 12 % годовых, при наращении за 2 года.

Решение. Параметры задачи: п = 2 года, і = 12 %. Тогда С = 0,12/(1 + 2 0,12і)-1 = 0,096 8 или 9,7 %.

Следовательно, операция, в которой принята учетная ставка 9,7 %, дает тот же финансовый результат для 2-годичного периода, что и простая ставка 12 % годовых.

Эквивалентность простой и сложной процентных ставок. Нара­щенные суммы по простой и сложной процентным ставкам равны ГУ = РУ(1 + п - іп) и ГУ = РУ(1 + іс)п. Если равны результаты наращения, то уравнение эквивалентности 1 + п - іп=(1 + іс)п. Отсюда іп = ((1 + іс)п -1)/ п и іс = 1 + іп -1. При начислении процентов т раз в году аналогично рас­суждая, получим:

Ґ С . \ т п Л

1 + -1 т у

1
тп\ 1 + іс - 1 т
іп =-

п

и іс = т

V4 у

Пример 4.2.

Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20 % годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26 % годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение. Параметры задачи: п = 4 года, т = 2, іс = 20 %, іп = 26 %. Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

1 +
1
і = — п 4

0.2" 4

1 '

= 0,285 9 или 28,59 %.

2

Таким образом, эквивалентная сложной ставке, по первому варианту, простая процентная ставка составляет 28,59 % годовых, что выше предла­гаемой простой ставки в 26 % годовых по второму варианту. Следова­тельно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т. е. под 20 % годовых с полугодовым начислением процентов.

Пример 4.3. По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2 % го­довых. Какую ставку годовых процентов следует назначить на ежемесяч­ные депозиты, чтобы последовательное переоформление этих депозитов привело к такому же результату, что и использование трёхмесячного де­позита, если пренебречь двумя днями, которые теряются при переоформ­лении депозитов (Т = 360)?

Решение. Приравняем соответствующие множители наращения:

1 +

0,102

'1+3

4

V 12 У

Отсюда получаем, что і = 0,101 1 или 10,11 %.

Эквивалентность сложной процентов и сложной учетной ставок.

Исходные соотношения есть ГУ = РУ(1 + іс)п и ГУ = РУ(1 - іс)-п. Анало­гично рассуждая, получим іс = іс (1 - іс)-1 и іс = іс (1 + іс)-1.

Эквивалентность интенсивности процентов в единицу времени и ставок процентов. Интенсивность процентов д в единицу времени удоб­но использовать в теоретических расчетах и обоснованиях финансовых решений. Из соотношений эквивалентности, можно перейти от непрерыв­ного начисления процентов к дискретному, что более приемлемо на прак­тике. Чаще возникает необходимость в соотношениях эквивалентности непрерывной и сложной ставок. Для эквивалентных сложных ставок д, і и і имеем: (1 + і)п = еп5 = (1 - і)-п. Отсюда

і = в5 -1 и 5 = 1п(1 + і); і = 1 - е^ и 5 = - 1п(1 - і).

Средние величины в финансовых расчетах. Для нескольких про­центных ставок их среднее значение есть эквивалентная величина.

Схема простых процентов. Пусть за периоды п1, п2, ..., пк начисляют­ся простые проценты по ставкам і1, і2, ., ік. Тогда за весь срок наращения п = п1 + п2 + ...+ пк средняя ставка простых процентов получается из урав­нения эквивалентности 1 + п • і = 1 + п1 • і1 + п2 • і2 +... + пк • ік. Откуда

31

- 1 к *=-Еп • \ •

П г=1

Если же за время финансовой операции изменяется и величина РУ, то средняя ставка простых процентов равна

±п, • * • РУ,

г=1

I

г г=1

Аналогично средняя простая учетная ставка равна

- 1 к 4=-ХП • Ї ■

П г=1

Средняя ставка і (Л) - это взвешенная средняя арифметическая ве­личина, дающая такое наращение, которое эквивалентно наращению с применением ряда разных по значению процентных ставок, применяемых на различных интервалах времени.

Схема сложных процентов. Пусть доходность операции с дискретно изменяющейся процентной ставкой на каждом интервале начисления бы­ла выражена через сложный процент. Уравнение эквивалентности для определения средней процентной ставки, которая равноценна последова­тельности ставок за весь период финансовой операции, есть

(1+і)п = (1+ОЧі+4 г • ■■■ -(1+і, Т ■

Отсюда

і=V (1+і, Г-(1+і; Т • ■■■ -(1+К Т -1.

Следовательно, средняя сложная процентная ставка рассчитывается по формуле средней геометрической взвешенной.

Аналогично средняя сложная учетная ставка равна

л = 1 -V (1 - 4 )п1 -(1 - )п2 • ■■■ -(1 - Л, )Пк -1.

Пример 4.4. Долгосрочный кредит предоставлен на 6 лет на следую­щих условиях: первые два года под 5 % (сложные проценты), в следую­щие три года ставка возрастает на 2 %, а в последний год - еще на 1 % Определить среднюю сложную процентную ставку.

Решение Параметры задачи: п1 = 2 года, і1 = 5 %, п2 = 3 года, і2 = 7 %, п3 = 1 год, і3 = 8 % Срок финансовой операции равен

п = п1 + п2 + п3 = 2 + 3 + 1 = 6 лет.

Средняя ставка сложных процентов равна

і = ^(1 + 0,05)2 - (1 + 0,07)3 - (1 + 0,08)1 -1 = 0,064 9 или 6,49 %

Таким образом, средняя процентная ставка по кредиту равна 6,49 %

<< | >>
Источник: Марченко Л. Н.. Финансовая математика: наращение и дисконтирование: практ. рук-во / Л. Н. Марченко, Л. В. Федосенко, Ю. С. Боярович ; М-во образования РБ, Гом. гос. ун-т им. Ф. Скорины. - Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, - 48 с.. 2014

Еще по теме 4.2. Эквивалентность процентных ставок:

  1. 2.6.6. Выравнивание процентных ставок
  2. Эквивалентность процентных ставок и финансовая эквивалентность платежей
  3. Эквивалентность процентных ставок
  4. 3.2. Анализ процентных ставок в условиях инфляция
  5. 3.2. Анализ процентных ставок в условиях инфляции
  6. 2.3. Эквивалентность процентных ставок
  7. 18.3. ФОРМИРОВАНИЕ УРОВНЯ РЫНОЧНЫХ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  8. 18.2. ФОРМИРОВАНИЕ УРОВНЯ РЫНОЧНЫХ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  9. 7.3. Паритеты покупательной способности и процентных ставок
  10. 1.5 Эквивалентность процентных ставок
  11. §4.2. Эквивалентность процентных ставок
  12. 1.3. Эквивалентность процентных ставок
  13. Лекция 3: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК.
  14. 4.2. Эквивалентность процентных ставок
  15. 3.5. Эквивалентность процентных ставок