3.4. Дисконтирование по сложной учетной ставке

ГУ (1 - С)^п-1 - С • ГУ (1 - С)^п-1 = ГУ (1 - С)^п.

Таким образом, современная величина суммы ГУ при банковском учете ее сложными процентами по ставке С в течение п периодов имеет вид

РУ = ГУ(1 - С)^п.

Величина (1 - С)^п называется множителем дисконтирования по сложной учетной ставке.

Пример 3.4. Определить величину суммы, выдаваемую заемщику, если он обязуется вернуть ее через 2 года в размере 55 000 ден. ед. Банк определяет свой доход с использованием годовой учетной ставки 30 %.

Решение. Параметры задачи: ГУ = 55 000 ден. ед., п = 2 года, d = 30 %. По формуле дисконтирования по сложной учетной ставке, определяем:

РУ = 55 000 • (1 - 0,3)² = ден. ед.

Заемщик может получить ссуду в размере 26 950 ден. ед., а через 2 года вернет 55 000 ден. ед.

Дисконтирование т раз в году. Если дисконтирование по сложной учетной ставке производится не один, а т раз в году, то годовая учетная ставка называется номинальной и обозначается через/ При дисконтировании по сложной учетной ставке через равные промежутки времени т раз в году в начале каждого периода длиной 1/т начисляются и удерживаются проценты по ставке// т.

1

V т

Эффективная учетная ставка d_eff - это годовая учетная ставка слож­ных процентов, удерживаемых один раз в начале года, обеспечивающая тот же финансовый результат, что и т-разовое дисконтирование в году по ставке f / т. Если срок долга п лет, то из эквивалентности процентных ста­вок следует:

( Ґ d_eff = 1 - 1 - ^

V т_у

Годовая эффективная учетная ставка d_eff измеряет реальный относи­тельный доход, получаемый за год при т-разовом дисконтировании в году.

Пример 3.5. Какой годовой эффективной учетной ставкой можно за­менить в контракте годовую номинальную учетную ставку 5 % при по­квартальном учете суммы погашаемого долга?

Решение. Параметры задачи: т = 4, f = 0,05. Тогда имеем

0,05

РУ = ГУ

ґ п п^Л⁴

= 0,049 07 или 4,907 %.

V ⁴ у

Для участников сделки безразлично, производить дисконтирование 4 ра­за в году в начале каждого квартала по ставке 5 %/4 = 1,25 % или 1 раз в нача­ле года по ставке 4,907 %. Финансовые обязательства сторон сохраняются.

Если требуется определить годовую номинальную учетную ставку / при заданных и т, то получаем

d_Jr = 1

( - л

/ = т • 1 - (1 - )^т .

V У

Пример 3.6. Какой должна быть годовая номинальная учетная ставка, соответствующая эффективной учетной ставке 5 % при: а) покварталь­ном, б) ежемесячном учете суммы погашаемого долга? Решение. Параметры задачи: = 0,05.

а) при т = 4 имеем

( 1Л

/ = 4 • 1 - (1 - 0,05У = 0,050 9 или 5,09 %;

V У

б) при т = 12 имеем

(

/ = 12- 1-(1-0,05)¹² =0,051 2 или 5,12%.

V У

Видно, что увеличение периодов дисконтирования в году увеличивает номинальную учетную ставку. Финансовые обязательства сторон сохраняются.