<<
>>

8.8. Будущая и текущая стоимости денежных сумм в схеме сложных процентов

Изменение со временем состояния накопительного счета в непре­рывной модели сложных процентов, описываемое выражением

J,= 5.(1+4 Г " = + Г. (8.99)

где /Л — ставка начисления за период Л; — соответствующая

эффективная нормированная ставка, представляет собой финансовый процесс в смысле, определенном в § 1.4.

Этот процесс однозначно определяется начальным состоянием (/, .У, ) и внутренним парамет­ром — одной из процентных ставок (начисления, номинальной или эффективной). Выбор вида ставки, по существу, безразличен, так как каждая из ставок однозначно определяет другую.

Для упрощения будем использовать в основном (эффективную) нормированную ставку, которую обозначим символом /. Тогда, приме­нив обозначения § 1.4, можно записать уравнение для инвестиционно­го процесса, соответствующего непрерывной модели накопительного счета, в виде

$ = .?(/; /0, ) = ^(1 + /р, />/0. (8.100)

Мы уже говорили, что такой процесс задает преобразование финан­совых событий или (датированных) денежных сумм. Так, начальное событие (?, £ ) преобразуется (переносится вдоль траектории процес­са) в событие (/, При этом сумма £ называется будущим или накопленным (к моменту /) значением суммы 5, . В операторной форме (8.100) записывается в виде

= = + (8-Ю1)

или даже просто

где а = 1 + / — нормированный (эффективный) коэффициент роста.

Строго говоря, оператор /У преобразует, конечно, не суммы, а события.

ГУ

но на практике, как уже неоднократно отмечалось, обычно говорят о суммах.

Нахождение будущих (накопленных) сумм связано с движением вперед вдоль временной шкалы от прошлого к будущему. Однако часто приходится решать в некотором смысле обратную задачу, например об определении требуемого размера инвестиций. Иными словами, имея целевое значение будущих накоплений, необходимо узнать, каков должен быть объем начальных инвестиций , чтобы при заданной (например, эффективной нормированной) ставке / их будущее значе­

ние к моменту ? в точности совпало с требуемым значением 51.

В некотором смысле мы уже решали обратную задачу подобного типа (см. гл. 2) при анализе кредитной сделки, а также (см. гл. 3) для схемы простых процентов.

Как мы помним, искомое значение 5 называется приведенным или дисконтированным значением суммы Бг Этот факт записывается в виде

(8.103)

Сумму называют также текущим (сегодняшним, настоящим) значением суммы 5 .

Как уже отмечалось ранее, обозначение РУ; используется в современ­ной финансовой литературе для приведения событий не только к про­шлым (по отношению к ним), но и любым, в том числе, и будущим, моментам. Поэтому в тех случаях, когда требуется подчеркнуть тот факт, что речь идет именно о дисконтировании, употребляют также обозначе­ние /Ж . В этом параграфе будем использовать для оператора текущего (дисконтного) значения символ РУ, в следующем, посвященном фор­мальному описанию схемы сложных процентов, — обозначение ВУ.

Поскольку равенство

равносильно по определению равенству

то нахождение сводится к решению последнего уравнения относи­тельно 51, .

откуда

Рассмотрим пример. Допустим, что вы желаете накопить вполне определенную сумму за несколько лет. Пусть речь идет о сумме .#1000 и 5 годах. Банк, которому вы вполне доверяете, принимает срочные вклады с ежегодными начислениями процентов по ставке 8% в год. Не желая откладывать больше денег, чем это необходимо для постав­ленной цели, вы хотите знать, какую сумму вам необходимо положить в банк, чтобы осуществить вашу цель. Обозначив через 5 искомую сумму, получим для нее уравнение

50(1+0,08)3 = 1000, 1000 1000 _

= 580,58(Л>).

(1 + 0,08)5 1,4693

Рассмотрим теперь вопрос о нахождении текущего значения в об­щем виде.

Пусть — известное или требуемое состояние счета в неко­торый будущий момент времени. Из (8.101), принимая во внимание (8.100), имеем, что

РУГ(5,) = . (8.104)

'Л О (1 + /р

В упрощенной форме, если нет неоднозначности толкования, ра­венство (8.104) будем записывать в виде

- . (8.105)

0 (1 + /р

Формулу (8.105) можно переписать в виде

PV^S^S^S^, (8.106)

где

1

и — -

1+/

— нормированный дисконтный множитель, соответствующий норми­рованной ставке /. Если вместо нормированной ставки задана ставка начисления или номинальная ставка, то для использования выраже­ний (8.101), (8.106) необходимо сначала перейти от этих ставок к соот­ветствующей эффективной ставке. Естественно можно переписать формулы для будущей и текущей стоимостей непосредственно в терми­нах заданных ставок, если подставить в (8.101), (8.106) вместо норми­рованной (эффективной) ставки / ее выражение через заданные ставки. Мы не будем выписывать соответствующие формулы. Читатель может легко сделать это самостоятельно.

Приведенные выше формулы (8.101), (8.102) для оператора будущей стоимости /У и (8.105), (8,106) для оператора текущей стоимости РУ выражены в терминах процентных ставок. Однако их можно выразить и в терминах учетных ставок. Для этого достаточно в (8.101), (8.106) выразить нормированные коэффициенты роста и дисконтирования через учетные ставки:

і и- 11

и = \. -а, £7 — — —

у

Здесь с1— нормированная (эффективная) учетная ставка. Тогда получим

Г-Гп

Я.

FVAS, =5 .а

(1 -?10 000. Какую сумму вложил вкладчик, если ни новых вложений, ни изъятий со счета за 10 лет не производилось?

Решение. Считая = 0, для годовой шкалы будем иметь

т — 2, =10%

и

£ш= 10 000 (.#).

І
= 10 000(1 - 0,05) 20 = 27 895,і(^).

Тогда

« Г2'1"

- *£](>' 1

<< | >>
Источник: Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф.. Финансовая математика: Учебник. — М.: Гардарики, - 624 с.. 2002

Еще по теме 8.8. Будущая и текущая стоимости денежных сумм в схеме сложных процентов:

  1. 10.2.4 Текущая стоимость единицы (реверсии)
  2. БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА
  3. БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА ПОСТНУМЕРАНДО
  4. ДИСКОНТИРОВАННАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА
  5. ДИСКОНТИРОВАННАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА ПОСТНУМЕРАНДО
  6. БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА
  7. БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА ПОСТНУ- МЕРАНДО
  8. ДИСКОНТИРОВАННАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА
  9. 8.4. Текущая стоимость аннуитета
  10. 5.2.1.4. Текущая стоимость аннуитета
  11. 6.3. Показатели эффективности инвестиционных проектов, определяемые на основании использования концепции дисконтирования 6.3.1. Чистая текущая стоимость
  12. Оценка стоимости денежных средств во времени
  13. Характерные ошибки при использовании критерия чистой текущей стоимости
  14. 4.2. Текущая стоимость
  15. 3.3. Приведение денежных сумм в схеме простых процентов
  16. 8.8. Будущая и текущая стоимости денежных сумм в схеме сложных процентов
  17. Вопросы и упражнения
  18. Г л а в а 11. Преобразование и эквивалентность денежных потоков. Общая схема сложных процентов
  19. 19.1.1. Будущая и текущая стоимости