11.3. Общая схема сложных процентов

Прежде чем перейти к определению общей схемы сложных процен­тов и ее обсуждению, напомним кратко понятие общей финансовой схемы (см. гл. 1).

Общая финансовая схема в качестве базовых элементов включает финансовые события и финансовые потоки, финансовые законы ка­питализации и дисконтирования и индуцированное ими отношение эквивалентности. Определяющим^ элементами являются заданные финансовые законы капитализации (роста)

У=Л(р;Г,С), p>t,

и дисконтирования

V=D(p,t,C), _Pt, (11.2)

а также приведенного, текущего или дисконтированного к моменту р значения

V_p=DV_p(t,C) = D(p-t,C), p(_P,V_p),

где

'FV_p(t,C), если р> Г; DV_p(t,C) если p(0,/>) =

где

На этом закончим обсуждение финансовых законов в общей схеме сложных процентов и перейдем к обсуждению вопросов, связанных ^г с непрерывными и общими финансовыми потоками в рамках этой схемы.

Непрерывные и общие финансовые потоки в общей схеме сложных процентов. Выше в этой главе мы ограничились анализом дискретных, или более точно, конечных потоков платежей. Финансовый поток СР в дискретном случае задается своей платежной функцией С(0, te т 1 на дискретном множестве точек, называемом носителем этого потока (см. гл. 1):

Дискретность носителя означает, что в любом конечном промежутке /содержится лишь конечное число точек носителя. В частности, носи­тель — конечное или счетное множество, т.е. его элементы можно занумеровать:

Е = {і_к\ к = 1, ...,л},/і:

V(J) = V(a, b) = M(b) - M{a).

Функция M(t) является первообразной для непрерывной плотности M 0,т-е.

Mît)- МО-

Понятие текущей стоимости потока в общей схеме сложных про­центов легко переносится на непрерывные потоки.

. Определение //.5. Пусть CF — непрерывный поток с плотностью МО- Текущей стоимостью этого потока в точке р относительно интен­сивности

Заменой переменныxt'=t— Т, получим

PV_p(L_T(CF)) = dt' = e~^ST PV_p(CF),

—«

что и требовалось доказать.

Еще проще доказывается аналог леммы 11.4 о сдвиге момента (полюса) приведения.

Лемма 11.4'. Пусть CF — непрерывный поток с плотностью ß(t). Тогда для постоянной интенсивности