11.2. Эквивалентность потоков платежей

Так, операторы будущей и текущей стоимостей позволяли преобра­зовывать события (суммы) и потоки событий (платежей). Формально это означает сопоставление некоторому событию, т.е. сумме, относя­щейся к некоторому моменту времени, некоторого другого события, сумма которого относится к другому моменту времени. Внешне это преобразование выглядит как перенос (сдвиг) события от одного мо­мента времени к другому с изменением, вообще говоря, денежной суммы этого события.

Напомним данное в гл. 8 определение эквивалентности событий в схеме сложных процентов. События считаются эквивалентными (от­носительно заданной процентной ставки), если одно из них можно преобразовать в другое с помощью операции приведения. Формально это означает следующее.

События (t_v Cj) и (t₂, С,) называются эквивалентными (в схеме

/

сложных процентов) и обозначаются как ,С7,)~(г₂, С₂), если

c₇ = PV_h(t_t,Q

или в развернутом виде

Как было показано в гл. 8, определенное таким образом отношение между событиями действительно является отношением эквивалентно­сти, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Точно так же приведение потока к некоторому моменту т, т.е. вычисление его текущего относительно момента г значения, означает по существу замену потока платежей эквивалентной ему единственной суммой, а точнее, эквивалентным событием. Таким образом, с финан­сово-экономической точки зрения в рамках заданных условий (извест­ной процентной ставки) поток и его текущая стоимость эквивалентны. Перенесем теперь определение эквивалентности событий, а также потока и его приведенного значения на произвольную пару потоков.

Определение 11.4. Два дискретных финансовых потока СР_Х и С/⁷ называются эквивалентными относительно процентной ставки / и мо­мента приведения г, если их текущие стоимости относительно этого момента совпадают, что в формальном виде записывается как

ср₁ ~ ср₂ рк (с/;)=ру_т (ср₂ ).

Эквивалентность потоков зависит от выбора момента приведения. Покажем, что на самом деле ее выбор безразличен, т.е. потоки, эквива­лентные относительно одной точки, будут эквивалентны относительно любой другой.

Теорема 11.3. Пусть С/⁷ и СР₂ — потоки платежей, а i — процентная ставка. Тогда для любых г , т₂

ср_{ с/^сг₂,

т.е. эквивалентность потоков относительно одной из точек равносиль­на их эквивалентности относительно другой.

Доказательство. Пусть при фиксированной процентной ставке /, которую ниже не будем указывать,

СРгСР₂,

тогда

Применяя к этому равенству оператор приведения к точке т₂, получим

что на основании свойства (11.1) дает

/>К_Г1 (с/. )=/%(