10.1. Дискретная накопительная модель в схеме сложных процентов

Пример ЮЛ. Пусть вкладчик открывает в банке счет (например, текущий), для которого возможны как пополнения, т.е. новые поступления, так и снятие сумм со счета. В этом случае возникает понятие остатка (остаточного баланса) счета, т.е. коли­чества денег, имеющегося в данный момент на счете. Остаток (или сальдо) счета — это его финансовое состояние. Состояние в данный момент времени t обозначим S(r). Условимся также, что на остаток счета ежегодно начисляются проценты по ставке.

например 10% годовых. Наконец, 200

пусть история нашего счета описы- _{| )}_________ _|__________ _|__________

вается событиями, изображенными

нарис. 10.1. 0 1 2 3 4

Иными словами, в момент г = 0 р_ис ^ ]

инвестор открывает счет с началь­ной суммой .^у/?400, через год снимает со счета ^100, а спустя 3 года вносит дополни­тельно .У?200. При таких условиях найдем состояния счета в моменты г = 1, 2, 3 и 4.

Решить эту задачу можем последовательно, прослеживая развитие счета с нулевого момента. Так, в момент времени / = 1, т.е. в конце 1-го года на начальную сумму счета будут начислены проценты за год в размере

4000,1 = 40(;#)

и счет станет равным

400 + 40 = 440(

Затем следует вычесть сумму, снятую вкладчиком, т.е. остаток счета на момент / = 1 станет

^ = 440 - 100 = 340(3?). С моментом г = 2 все ясно, поскольку 5₂ есть просто накопленное за год значение

= 340(1 + 0,1) = 374( .Щ.

Далее очевидно, что

^ = 5₂( 1 + 0,1) + 200

или

5_з = 414, 4 + 200 = 614, 4(.'#).

И наконец,

= 614,4(1 + 0,1) = 672,54(.³/?). В наших рассуждениях есть одно довольно тонкое место, относящееся к понятию значения счета в данный момент времени.

Аналогичные вопросы возникали и при изложении моделей с переменным капиталом для простых процентов. Там уточнение операции довложения и изъятия осуществлялось за счет разделения полного счета либо на систему субсчетов (модель мультисчета), либо на два счета (бинарная модель). Это разделение было связанно с тем, что в схеме простых процентов начисление процентов осуществляется Только на основной капитал, а проценты на проценты не начисляются.

Это приводит к необходимости введения двух отдельных счетов — счета капиталов и счета процентов.

В схеме сложных процентов в таком разделении нет необходимости, поскольку по самому смыслу сложные проценты означают начисление и на накопленные проценты, так что, по существу, имеется всего один полный счет, к которому постоянно присоединяются накопленные проценты (либо в конце периодов начисления, либо непрерывно в зависимости от модели). При этом, как отмечалось в гл. 1, мы в нашем изложении придерживаемся концепции завершенного состо­яния, т.е. под состоянием счета всегда понимается окончательный результат всех действий над счетом, относящихся к моменту определе­ния его состояния.

Хотя выше говорилось о традиционном понимании накопительно­го счета, в соответствии с которым вкладчик (инвестор) открывает счет с некоторой положительной суммой, а последующие платежи в зависи­мости от знака являются либо довложением (поступлением) капитала, либо его изъятием, возможна и двойственная трактовка счета, с точки зрения должника, когда счет интерпретируется как ссудный, начальное состояние — как выдача ссуды, а остальные платежи в зависимости от знака — либо как погасительные платежи, либо как дополнительные кредиты. Строго говоря, такая строгая интерпретация счета как нако­пительного или ссудного возможна лишь при конкретном ограниче­нии. Так, в накопительном счете изъятия не должны приводить к отрицательному (дебетовому) сальдо, а в ссудном счете погашения к положительному (кредитовому) сальдо, поскольку тогда смысл счета меняется на противоположный, т.е. в первом случае накопительный счет переходит в ссудный, а во втором — наоборот, ссудный переходит в накопительный.

Допущение таких переходов «размывает» границу между счетами различных типов. В этих случаях стороны, связанные со счетом, попе­ременно являются кредиторами и дебиторами. Конечно, никаких фор­мальных трудностей в анализе динамики таких счетов нет, за исключе­нием того, что на практике смена знака счета обычно приводит к изме­нению ставки, поскольку дебетовая и кредитная ставки обычно разли­чаются. Так, ставка по депозитам, которую банк платит вкладчику, обычно меньше, чем ставка по ссуде, которую банк взимает за времен ­ный овердрафт, т.е. за снятие сумм, превышающих остаток счета.

С этой ситуацией мы сталкивались при изучении счетов с перемен­ным капиталом в схеме простых процентов (см. гл. 4). Там мы ограни­

чились так называемым симметричным случаем, для которого упомя­нутые ставки совпадают. Изучение счетов с переменным капиталом для сложных процентов также ограничим анализом симметричного случая.

Прежде чем переходить к непосредственному описанию дискрет­ной накопительной модели с переменным капиталом, напомним ос­новные понятия и обозначения, связанные с определением дискретно­го финансового потока в его общей форме (см.

В традиционном определении финансового потока как последова­тельности финансовых событий

С/- = {(/₁,С₁),(^,С₂),...,(г_я,С₍₁)} (ЮЛ)

рассматриваются лишь моменты времени, относящиеся к событиям, составляющим поток. В некоторых случаях события с нулевой суммой, т.е. события вида (/., 0) можно считать несущественными и свободно присоединять их к потоку или, наоборот, удалять из него, не меняя, по существу; самого потока. Так поступают, например, при анализе раз­личного типа «входных» и «выходных» потоков, относящихся к неко­торому фонду. В частности, для рассмотренного выше примера вклада в банке поток поступлений/изъятий обладает указанным свойством, т.е. отсутствие поступления или изъятия можно интерпретировать как нулевое событие.

Сделанное выше соглашение позволяет каждый (дискретный) по­ток считать определенным для любого момента времени X из временной шкалы Т (см. § 1.2). Это значит, что поток можно представить в виде (платежной) функции времени С(/), где С(0 — сумма, соответствующая моменту Л При этом почти для всех значений ! С(/) = 0.

Более точно для потока заданных как последовательность событий (10.1) соответствующая функция С(/), представляющая поток, задается соотношениями

С_к приг = ^;

при

Тогда поток СТ описывается функцией С({) времени г, определенной для всех моментов /:

С/⁷ = [С(г)| геТ, С(/)еМ}. В дальнейшем для краткости используем упрощенную запись потока

Поскольку почти для всех моментов t суммы C{t) нулевые, то мо­менты /, для которых C(t) Ф 0, играют определяющую роль. Совокуп­ность этих моментов времени есть носитель потока, обозначаемый как supp CF, т.е.

suppC/^, = {^gt|C(r)^0}.

Невыписанные суммы всегда будем считать нулевыми. Напомним также, что поток задан или сосредоточен на промежутке J с Т, если его носитель содержится в этом промежутке, т.е. supp С/с J. Иными словами, вне этого отрезка поток нулевой: C(t) = 0 для J. В частности, для потока из примера 10.1

supp CF~ {0, 1,3}.

При этом поток сосредоточен на любом промежутке, содержащем отрезок [0, 3].

Вернемся теперь к построению дискретной накопительной модели.

^Пусть CF = {(r₀,C₀),(r_]1C_]),...,a,C„)}

— поток платежей, порождающий некоторый счет. Говоря о порождаю­щем счет потоке, имеют в виду, что нет никаких других платежей, связанных со счетом, помимо платежей из потока.

Событие (Г₀, С₀) будем трактовать как начальное состояние или открытие счета: S(t_Q) ~ С₀, а последующие платежи — как внешний поток поступлений/изъятий капитала. Динамика счета определяется нормированной эффективной ставкой /. Наша цель — определить состояние счета S(t) в любой момент времени Л

Согласно сказанному, состояние счета в начальный момент равно S(t_Q). Дальнейшее изменение состояния счета определяется, во-пер­вых, автономным, или внутренним, процентным ростом и, во-вторых, внешними платежами C_k — C{t_k) в момент t_k.

Динамика процентного роста была подробно изучена выше. В об­щем виде (для нормированной ставки 0 она описывается уравнением

^(/ + Л) = 5(г)(1 + /)\ t>t,\ h>O (10.2)

при условии, что на промежутке (1, t + h\ нет никаких поступлений или изъятий капитала. Если же на интервале (t, t + h) не было ни поступле­ний, ни изъятий, но в момент t + И на счет (или со счета) был осуществлен платеж C(t + /i), то, согласно принципу завершенного состояния,

S(t+h) = S(t + h-0) + C(t+h), (10.3)

где

S(t + h-0)=]\mS(t + h-T),

— предел (слева) состояния S(t) в точке t + И.

Равенства (10.2) и (10.3) можно записать в виде единой формулы

S(t+h) = S(t)(l+i)" +C(t + h) (10.4)

для любых t > t_Q, h > 0 при условии, что на интервале (t, t + h) нет платежей потока CF. Заметим, что если в момент t + h нет ненулевых платежей, т.е. С(/ + h) — 0, то формула (10.4) переходит в (10.2).

Исходя из изложенного можно выписать рекуррентные уравнения, определяющие состояния счета в критические моменты t_k.

S(t_tti) = S(t_k)(l+if +C(t„) (10.5)

или в индексных обозначениях S_k = S(t_k)

S_krt = S_t(\ + i)^T'+C_k, (10.5')

где T_k = t_k —t_{k [} — длина k-то критического промежутка. Разворачивая эти формулы, последовательно находим

■So ⁼ - Qi 5, =5₍₎(l + /)^,i +q =C₀(l + /)^,i +C, =C„(1+ /)''"'"+С,; =5,(1+/)^ + C, = C₀(l+»f^tJi + С,(1-и)'^! +С_г = = C₀(l+/)'^!"'"+C,(l+/)'^;"'' + C₂;

=c₀(i+/)'"-'" + c, (1+i)'""' +...+c„_, (l+/)'•"'■¹ +c„.

Естественно, что состояние счета для некритического момента t определяется, согласно, (10.3) состоянием в ближайший предшествую­щий критический момент t_k, если t_k Л,,..., !_п относи­тельно нормированной ставки / называется величина

А=1 А=1

где а — 1 + /— нормированный коэффициент роста.

Так, для приведенного выше примера денежный поток вложений/ изъятий имеет вид

С/⁷ = {0, 400), (1,-100), (3, 200)};

ЩСЛ 400(1+0,1 У - 100(1+0,1)³ + 200(1+0,1) = 672,54(:-#). Таким образом, будущее или накопленное значение потока есть просто алгебраическая сумма накопленных значений составляющих этот поток сумм:

= (Ю.7)

*=1

Аналогично можно определить текущее значение потока для мо­мента /< г_п.

Определение 10.2, Пусть

— некоторый денежный поток. Тогда в схеме сложных процентов величина

= (10.8)

ы

где

1+/

— нормированный дисконтный множитель, называется текущим зна­чением в момент времени Г относительно нормированной ставки /'.

Таким образом, текущая величина потока есть просто сумма теку­щих значений составляющих поток сумм:

(10.9)

А=1

Так, для потока из рассматриваемого примера

РУ^СР) = 400 -100(1 +0,1 Г¹ + 200(1 +0,1 )~³ = 459,35( Я).

Не следует удивляться, что полученное текущее значение в момент 7—0, т.е. приведенная к начальному моменту времени величина пото­ка, не совпадает с начальным вкладом ;#400, тогда как для будущих значений потока (/> 3) такое совпадение имеет место. Ниже подробно объяснена связь между будущими и текущими величинами для потока и значениями соответствующей фондовой переменной.

Как и для отдельной суммы, можно говорить о текущем относи­тельно заданной процентной ставки значении потока в произвольный момент времени t безотносительно к его ориентации по отношению к событиям из потока. В этом случае используется та же формула (10.7):

= (10.10)

/Ы

но уже не обязательно выполнение неравенствам t_v f₂,..., Например, в случае t_v t_r..., t_k< t < t_k+v..., t_n для моментов t предшествующих моменту t, будут находиться будущие значения соответствующих сумм, а для моментов t_k, следующих за этим моментом, будут находиться приведенные значения соответствующих им сумм. Возвращаясь к пото­ку из примера, получим

PV₂(CF) = 400(1,1)² - 100(1,1)^! + 200(1,- 585,883( М),

что опять не совпадает со значением S₂ = 374( М), полученным выше.

Введенные характеристики потока (будущая и текущая стоимости) позволяют записать состояние S(t) накопительного счета, порожден­ного потоком CF, в виде

5(/)=fK(Cf|,)= £ c_t(I+ (■)"', ₍₁₀₁

ku_k